Дисперсия функции случайных величин

Для функции одного случайного аргумента

(4.16)

дисперсия выражается формулой:

(4.17)

Выражение (4.17) показывает, что дисперсия функции случайных величин определяется как математическое ожидание некоторой новой функции, поэтому вычисление дисперсии может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными рассмотренным в предыдущем разделе.

Если X – дискретная случайная величина, то дисперсия выражается суммой:

(4.18)

а если X – непрерывная случайная величина, то дисперсия функции выражается интегралом:

(4.19)

где – плотность распределения случайной величины X.

Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных величин:

. (4.20)

В дискретном случае:

, (4.21)

где – возможные значения системы (Х, Y), а – вероятность принятия этих значений.

В непрерывном случае:

(4.22)

где – плотность распределения системы (X, Y); – математическое ожидание функции (4.20).

Заметим, что при вычислении дисперсии удобно бывает пользоваться формулой:

В таком случае формулы (4.18), (4.19), (4.21) и (4.22) можно заменить следующими:

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

Теорема 1. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенный коэффициент корреляции:

(4.27)

Следствие. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме их дисперсий:

. (4.28)

Теорема 2. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле:

(4.29)

Пример. Случайная величина X подчинена равномерному закону распределения в интервале (0,1). Найти дисперсию случайной величины

Р е ш е н и е. Случайная величина X имеет плотность распределения:

Найдем сначала математическое ожидание случайной величины

Дисперсия по формуле (4.24):

Таким образом, искомая дисперсия равна 16/45.