Пусть задана СВ Х с неизвестным мат. ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Покажем, что оценкой для дисперсии D(X) СВ Х служит ее статистическая дисперсия
- формула (1). Т.к. значения центральных статистических моментов не зависят от выбора начала отсчета величины (новый отсчет отличается от старого на постоянную величину), то формулу (1) можно записать:
=
(xi – M(X) +M(X) —
)2 =
((xi – M(X)) – (
- M(X)))2 =
((xi – M(X))2 – 2(xi – M(X))(
- M(X)) + (
- M(X))2) =
((xi – M(X))2 – 2(
- M(X))(
xi – M(X)) + (
- M(X))2 =
((xi – M(X))2 – 2(
- M(X))2 + (
- M(X))2 =
((xi – M(X))2 – (
- M(X))2. Рассматривая xi, i =
, как независимые СВ Х1, Х2, …, Хn с тем же законом распределения, что и величина Х, будем иметь: M(
) = M(
(xi – M(X))2
- (
- M(X))2) =
M(xi – M(X))2 - M(
- M(X))2 =
M(Xi – M(X))2 - D(
) =
D(Xi) -
D(X) = D(X) -
D(X) = (—(n – 1)/n)D(X). Как видно из полученного рез-та, статистич. дисперсия не является несмещенной оценкой, т.к. отличается от D(X) на величину D(X)/n. Для получения несмещенной оценки умножим статистич. дисперсию на n/(n – 1) и получим статистич. дисперсию
= (n/(n – 1))
= (- 1/(n – 1))
(xi –
)2, которая и будет несмещенной оценкой дисперсии СВ Х, так как M(
) = D(X). Рассмотрим рав-во
=
(xi – M(X))2 – (
- M(X))2 и покажем, что оценка
состоятельна. Слагаемое
(xi – M(X))2 приведенной выше формулы является средним арифметическим n независимых, одинаково распределенных величин (xi – M(X))2. Согласно закону больших чисел,
(xi – M(X))2
M(xi – M(X))2 = D(X). Второе слагаемое (
- M(X))2 в силу закона больших чисел сходится по вероятности к нулю:
M(X). В самом деле, если P((
- M(X))2 > ε)→0 при n→∞, то и P(|
- M(X)|>
)→0 при n→∞. Т.к. статистич. дисперсия является суммой двух слагаемых, одно из которых сходится по вероятности к D(X), а другое – к нулю, то
D(X), что свидетельствует о состоятельности оценки
.