Оценки для выборочного среднего и выборочной дисперсии.

Пусть задана СВ Х с неизвестным мат. ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Покажем, что оценкой для дисперсии D(X) СВ Х служит ее статистическая дисперсия - формула (1). Т.к. значения центральных статистических моментов не зависят от выбора начала отсчета величины (новый отсчет отличается от старого на постоянную величину), то формулу (1) можно записать: = (x_i – M(X) +M(X) — )² = ((x_i – M(X)) – ( - M(X)))² = ((x_i – M(X))² – 2(x_i – M(X))( - M(X)) + ( - M(X))²) = ((x_i – M(X))² – 2( - M(X))( x_i – M(X)) + ( - M(X))² = ((x_i – M(X))² – 2( - M(X))² + ( - M(X))² = ((x_i – M(X))² – ( - M(X))². Рассматривая x_i, i = , как независимые СВ Х₁, Х₂, …, Х_n с тем же законом распределения, что и величина Х, будем иметь: M() = M( (x_i – M(X))² - ( - M(X))²) = M(x_i – M(X))² - M( - M(X))² = M(X_i – M(X))² - D() = D(X_i) - D(X) = D(X) - D(X) = (—(n – 1)/n)D(X). Как видно из полученного рез-та, статистич. дисперсия не является несмещенной оценкой, т.к. отличается от D(X) на величину D(X)/n. Для получения несмещенной оценки умножим статистич. дисперсию на n/(n – 1) и получим статистич. дисперсию = (n/(n – 1)) = (- 1/(n – 1)) (x_i – )², которая и будет несмещенной оценкой дисперсии СВ Х, так как M() = D(X). Рассмотрим рав-во = (x_i – M(X))² – ( - M(X))² и покажем, что оценка состоятельна. Слагаемое (x_i – M(X))² приведенной выше формулы является средним арифметическим n независимых, одинаково распределенных величин (x_i – M(X))². Согласно закону больших чисел, (x_i – M(X))² M(x_i – M(X))² = D(X). Второе слагаемое ( - M(X))² в силу закона больших чисел сходится по вероятности к нулю: M(X). В самом деле, если P(( - M(X))² > ε)→0 при n→∞, то и P(| - M(X)|> )→0 при n→∞. Т.к. статистич. дисперсия является суммой двух слагаемых, одно из которых сходится по вероятности к D(X), а другое – к нулю, то D(X), что свидетельствует о состоятельности оценки .