Критерий согласия.

Критерий согласия Пирсона основан на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и эмпирическим (полученным из эксперимента) распределениями. Причем задачу проверки согласованности теории с опытными данными можно сформулировать в следующем виде: имеется выборка х₁, х₂, …, х_n наблюденных значений некоторой СВ Х. Требуется определить, что выборочное распределение принадлежит определенному распределению (нормальному, биномиальному, показательному и т.д.) – гипотеза Н₀ против альтернативной гипотезы Н₁ – распределение не принадлежит выбранному распределению. Допустим вначале, что гипотеза Н₀ полностью определяет вид функции Р, и вероятность P(x_j S_i) может быть вычислена для любого заданного мн-ва S₁, S₂, …, S_k – это либо интервалы для непрерывной СВ, либо группы отдельных значений дискретной СВ, не имеющие общих точек. Пусть p_i = P(x_j S_i) – вероятность того, что СВ Х принимает значения, принадлежащие мн-ву S_i и =1, причем все p_i>0, i = . Соответствующие групповые частоты в выборке m₁, m₂, …, m_k, т.е. m_i – это число значений СВ Х из выборки, попавших в S_i. Ясно, что =n. Если проверяемая гипотеза Н₀ верна, то распределение выборки можно рассматривать как статистический аналог для генерального распределения, определяемого функцией р(х). Это значит, что m_i представляет собой частоту появления события с вероятностью p_i = P(S_i) в нашей последовательности из n наблюдений. Следовательно, любое мн-во S_i имеет в первом распределении относительные частоты m_i/n, а во втором – вероятности p_i. Тогда, согласно методу наименьших квадратов, за меру расхождения между распределением выборки и теоретическим распределением примем величину C_i(m_i/n - p_i)², где C_i – произвольный коэффициент. Пирсон доказал, что если C_i = n/ p_i, то получится мера расхождения вида χ² = , такая, что при увеличении объема выборки выборочное рапределение величины χ² стремится к предельному распределению χ² с υ = κ – r – 1 степенями свободы (к – число интервалов или групп, на кторые разбито все мн-во наблюденных данных, r – число параметров гипотетического распределения вероятностей Р, оцениваемых по данным выборки). Это утверждение следует из того, что если гипотеза Н₀ верна, то совместным распределением групповых частот m_i, i = , является простое обощение биномиального распределения, и тогда случайные величины X_i = (m_i - np_i)/ нормально распределены, а их сумма квадратов χ² = имеет распределение χ² с υ = κ – r – 1 степенями свободы. Для того, чтобы величина критерия приближенно имела χ²-распределение, теоретические частоты np_i должны быть не слишком малыми.