Синтез оптимального фильтра с двумя точками приложения воздействий

Термин “фильтр” пришел из теории связи. Мы будем трактовать его расширенно (это любой преобразователь информации, прибор, измерительное устройство), а в целом – это динамическая система, имеющая свой оператор. В связи с тем, что внутри преобразователя (прибора) могут возникать шумы, более того – погрешность прибора можно представить в виде дополнительной помехи, приведенной к какой-либо внутренней точке, мы получаем следующую схему измерения:

 

 

Комментарий к схеме: это упрощенная схема измерения и в ней W _H – это передаточная функция неизменяемой части системы, куда входят все функционально-необходимые звенья, а внутренняя помеха u (t) приведена ко входу неизменяемой части.

W _КУ – передаточная функция корректирующего устройства, подбором которого доводится передаточная функция системы до теоретически найденного оптимального варианта. Для простоты, обратная связь взята единичной, но это непринципиально.

M (t) – случайный полезный сигнал (СПС);

N (t) – случайная помеха (СП).

Формулировка задачи Пелегрэна:

“На входе проектируемой динамической системы действуют случайные стационарные гауссовские эргодические процессы: полезный сигнал M (t) и помеха N (t) так, что входной сигнал равен их аддитивной смеси: φ(t) = M (t) + N (t)”.

Внутри проектируемой системы приложена помеха u (t) с аналогичными свойствами. Процессы являются центрированными и для них известно математическое описание в виде корреляционных функций: R_M (t), R_N (t), R_u (t). Система должна проводить идеальное преобразование полезного сигнала по закону:

 

,

 

где H (p) – идеальный оператор.

Необходимо определить физически реализуемую весовую функцию, передаточную функцию системы, доставляющую min среднему квадрату ошибки на выходе. Физически реализуемая весовая функция:

 

 

Обособление проектируемой структуры задачи Пелегрэна (выведение внутренней точки приложения помехи за пределы системы)

1)

 

(4)

Окончательно:

 

 

Таким образом, проектируемая система изолировалась (обособилась) и знать ее внутреннюю структуру необязательно.