Получение необходимого условия минимума СКО.

В выражении (7) первые два слагаемых при подстановке исходных данных будут конкретным числом и не влияют на определение точки экстремума, поэтому их можно выбросить и минимизировать усеченное выражение для СКО:

 

æ(τ;)

Вычислим вариацию функционала. Для этого в начале вычислим функционал от аргумента с приращением.

æ(τ;)

(**)

æ(τ;)

Применим к (**) рабочую формулу (в)

(9)

æ(τ;) (V)

Преобразуем (V) под основную лемму вариационного исчисления

η(t) – «пробная»функция.

æ(τ;)

Согласно основной лемме

æ(τ;) (10)

Неизвестная весовая функция входит под знак интеграла, следовательно (10) является интегральным уравнением Винера-Колмогорова и относится к классическим интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

Коэффициент при неизвестной функции является ядром интегрального выражения как является суммарная корреляционная функция. Решение интегрального выражения зависит от свойств ядра. В отличии от диф. исчисления теория решения интегральных уравнений разрабатывается лишь для некоторых их классов.

Решение 10 основывается на эвристическом приеме. Он состоит в том что ядро упрощается до - функции. Специально вводимым искусственным фильтром, а интегралы с - функциями легко берутся при помощи фильтрующего свойства.

Не трудно понять, что искажающий фильтр должен быть выбран так чтобы суммарный входной сигнал превратить в белый шум.

Примечание: Необходимое условие минимума (10) является и достаточным условием минимума.

Доказать это можно 2-мя способами:

1) Логический. Ухудшать систему можно беспредельно и погрешность будет . Поэтому найденное условие (10) является минимальным, а не максимальным.

2) Математический. Для этого нужно доказать, что функция от аргумента с приращением