Сигнал как аналитическая функция

Сигнал представляется в виде математического соотношения, в котором устанавливается связь между переменной, которой сопоставлено свойство сигнал, и конечным набором других переменных (свойств), которые называются параметры сигнала. Например, в непрерывном гармоническом колебании параметрами сигнала могут быть амплитуда , циклическая частота и начальная фаза .

При моделировании такого сигнала в системе MATLAB как некоторого объекта, устанавливающего непрерывную связь между параметрами сигнала и его значением, можно использовать следующие варианты:

1. Представление сигнала в виде команды в командной строке. Сначала в рабочее пространство вносятся фиксированные значения параметров:

Uo = 1;

f = 10;

theta = 0;

далее задаётся набор точек, в которых (или которой) сигнал должен быть вычислен:

t = 0:0.01:1;

а потом по команде

xt = Uo*sin(2*pi*f*t+theta);

в рабочем пространстве появляется соответствующий набор значений сигнала.

 

2. Представление сигнала в виде строки. Если заданы параметры сигнала, т.е. все переменные в его аналитическом выражении, то это выражение можно записать сначала в форме строки

s = 'Uo*sin(2*pi*f*t+theta)';

а затем вычислять одно или несколько его значений с помощью
m- функции eval:

xs = eval(s);

 

3. Представление сигнала в виде встроенной строки. Такое представление – нечто среднее между представлением сигнала просто строкой и m- функцией, поскольку в этом случае при вычислении сигнала его параметры можно задавать как входные переменные. Сначала записывается встроенная строка (inline-объект)

y = inline('sin(2*pi*f*t + theta)','t', 'f', 'theta')

результат выполнения которой отображается в виде формы обращения к функции:

Inline function: y(t,f,theta) = sin(2*pi*f*t + theta)

Значения сигнала определяются при выполнении команды обращения, например,

xg = y(t, f, 0);

 

4. Представление сигнала в виде m- функции. Это наиболее универсальный и часто используемый вид задания сигналов. Поскольку в системе MATLAB можно использовать переменное количество входных (nargin) и выходных (nargout) параметров, то некоторые из них могут при вызове m- функции опускаться:

 

function y = sinf(t,f,theta)

% y = sinf(t,f,theta)

% y = sinf(2*pi*f*t + theta)

if nargin = = 3

y = sinf(2*pi*f*t + theta);

elseif nargin = = 2

y = sinf(2*pi*f*t);

end

 

Вычисление значений сигнала для заданного набора параметров выполняется по команде

xf = sinf(t, f, theta);

или, например, по команде

xf = sinf(t, 10);

 

2. РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

2.1. Содержание задания расчётно-графической работы № 1

Для заданного варианта исследуемого сигнала (сигналы 1 – 25) выполнить следующие задания:

1. Составить математическую модель сигнала s ₁ (t) на одном периоде повторения и вычислить его энергию Es. Определить длительность импульсного сигнала t _И и его скважность Q. Нарисовать график сигнала на одном периоде повторения.

2. Составить математическую модель периодического сигнала s _П (t) указанной формы на всей оси времени и нарисовать график этого сигнала на 3 – 5 периодах повторения.

3. Определить аналитические выражения для амплитудного и фазового спектров периодического сигнала (a_n, b_n, A_n, f_n), построить соответствующие диаграммы. Сделать оценку скорости изменения амплитуды гармоники A_n в зависимости от её номера n (при n –> ¥).

4. Рассчитать в виде таблицы зависимость энергии сигнала Es(n) от нарастающего количества гармоник при его представлении ограниченным рядом Фурье. Построить график этой зависимости, нормированной к полной энергии сигнала Es на периоде повторения.

5. Определить количество гармоник ограниченного ряда Фурье, сохраняющих не менее 90% (n ₉₀ ) и 99% (n ₉₉ ) энергии исходного сигнала (на одном периоде повторения). Рассчитать и нарисовать формы сигналов для этих случаев. Определить граничную частоту f _гр, выше которой имеется 1 и 10% от полной энергии непериодического сигнала.

6. Найти аналитическое выражение спектральной плотности S( w ) непериодического сигнала заданной формы и построить график её модуля. Сопоставить амплитуду n -ой гармоники (см. п. 3, выражение для A_n) с модулем спектральной плотности | S( w ) |на частоте . Определить произведение ширины спектра D f непериодического сигнала на его длительность t_И.

7. Получить аналитическое выражение для энергетического спектра W( w ) непериодического сигнала, построить его график. Вычислить эффективную ширину спектра сигнала D f _ЭФФ. Вычислить и построить энергетическую характеристику .

8. Определить период дискретизации D t исходного сигнала по теореме Котельникова для f _гр(10%) и f _гр(1%). Записать аналитически, рассчитать и построить график временной зависимости исходного сигнала при его представлении рядом Котельникова для обоих случаев.

9. Двумя способами (непосредственно по сигналу s ₁(t) и по энергетическому спектру W( w )) найти аналитическое выражение для функции автокорреляции K _Н(t) непериодического сигнала и построить её графически. Вычислить эффективный интервал корреляции сигнала Dt_ЭФ.

10. Определить аналитически и построить графически функцию автокорреляции K _П(t)периодического сигнала.

 

Варианты исследуемых сигналов

 

Рис. 2.1. Варианты сигналов для выполнения домашнего задания