Спектральная плотность непериодического сигнала

Она определяется по формуле прямого преобразования Фурье

, (2.8)

от сигнала (1.1), имеющего ненулевые значения на интервале (). Здесь и далее в этом пункте для краткости введено обозначение . Спектральная плотность согласно (2.8) равна

 

Первый интеграл равен Второй интеграл находится с помощью формулы Эйлера

.

Обозначение Sinc(x) есть отношение sin (x) / x. В системе MATLAB имеется встроенная m- функция

sinc(x) = sin(pi*x)/(pi*x)

для вычисления этого соотношения, однако можно воспользоваться своей функцией sinc1(x):

 

function y = sinc1(x)

% Функция sin(x)/x

 

if abs(x) <= eps

y = 1;

else

y = sin(x)/x;

end

 

Максимальное значение модуля спектральной плотности наблюдается на нулевой частоте и равно S _max= 2.18e-4 В/Гц (рис. 2.8). Первый нуль бокового (главного) лепестка появляется на частоте F ₀ = 4375 Гц (на рис. 2.8 частотная ось имеет масштаб 1 Гц). Произведение частоты первого нуля на длительность сигнала () равно .

 

 

Ниже приводится два набора команд системы MATLAB (называемые скрипт-файлами), с помощью которых можно вычислить спектральную плотность непериодического сигнала и построить график её модуля. Первый набор реализует вычисление по формулам, полученным в результате аналитического интегрирования.

Рис. 2.8. Спектральная плотность непериодического сигнала

 

Uo = 1; Um = 2; T = 1e-3;

tau = T/3; W = 2*pi/T;

f = linspace(0,15e3,300); w = 2*pi*f;

I1 = -Uo*tau*sinc(w*tau/(2*pi));

I2 =1/2*Um*tau*(sinc((W-w)*tau/(2*pi))+...

sinc((W+w)*tau/(2*pi)));

Sw = I1+I2;

figure(1)

plot(f,abs(Sw)),grid

 

Второй набор команд вычисляет спектральную плотность сигнала прямым интегрированием по формуле (2.8) методом прямоугольников.

 

Uo = 1; Um = 2; T = 1e-3; tau = T/3;

N = 10000;

t = linspace(-tau/2,tau/2,N+1);

i = 1; j = sqrt(-1);

for f1 = 0:50:15000

St(i)=sum(cosinob1(t,Um,T,Uo).*exp(-j*2*pi*f1*t));

i = i+1;

end

St = St*tau/N;

figure(2)

plot(0:50:15000,abs(St)),grid

 

При 10000 временных отсчётах различие между двумя вычисленными спектральными плотностями практически отсутствует (относительная ошибка менее 1е-9).