Дифференциальные уравнения пограничного слоя.

При обтекании твердой поверхности жидкостью (или газом) с большими числами Re влияние вязкости проявляется в пределах тонкого пограничного слоя δ (рис. 7.1.) Вне этого слоя во многих задачах среда может полагаться невязкой и ее течение описывается системой уравнений Эйлера. Л. Прандтль установил, что в пределах тонкого пограничного слоя уравнения вязкой среды могут быть существенно упрощены в предположении о сопоставимости сил вязкости и инерции. Если между поверхностью обтекаемого тела и жидкостью происходит тепло и массообмен то вблизи твердой стенки возникают тепловой и диффузионный пограничные слои толщиной δ_т и δ_с. Скорость, температура и концентрация примеси принимают у стенки значения U_ст, Т_ст и С_ст и асимптотически приближаются к значениям U , Т , С во внешнем потоке Физические условия «прилипания» жидкости на поверхности соответствует равенству нулю скорости потока U_ст = 0. За толщины пограничных слоев δ, δ_т, δ_с обычно принимаются расстояния от стенки по нормали, на которых скорости, температуры и концентрации примеси отличаются на 1% от соответствующих значений во внешнем потоке.

Рис. 7.1. Схема динамического, теплового и концентрационного пограничных слоев на криволинейной поверхности

4.10.1. Система уравнений вязкой жидкости рассматривается при следующих допущениях: течение двумерное, среда однофазная, внешние объемные силы отсутствуют. При этих допущениях система уравнений Навье-Стокса имеет вид:

- уравнение неразрывности

(7.1)

1 1∙1

- уравнение движения в проекции на ось х

(7.2)

1 1 δ δ² δ²

- уравнение движения в проекции на ось у

(7.3)

1 1 δ δ² δ²

- уравнение баланса энергии

(7.4)

1 1 δ 1 1∙1 δ δ² δ² δ²

где Ф – диссипативная функция

,

где под каждым слагаемым записаны порядки величин, которые необходимо оценить.

Будем считать, что толщины δ и δ_т имеют порядок δ значительно меньший по сравнению с расстоянием х. Порядок х, а, U_х, Т, ρ, р – примем за 1. Тогда δ << х. Оценим порядки слагаемых в уравнениях (7.1) – (7.4) и разместим эти порядки под соответствующими величинами. В уравнении неразрывности слагаемое ~ то есть имеет порядок 1 и, следовательно, ~1 и т.к. у ~ δ, то U_у ~ δ. Производные ~ 1 и ~ 1, т.е. имеют порядок 1, а производные имеют порядки и соответственно. Полагая, что силы вязкости и инерции имеют в пределах пограничного слоя одинаковый порядок получим из (7.2) 1 ~ и μ ~ . Тогда число ~ . Это означает, что условием образования тонкого динамического пограничного слоя при обтекании поверхности является ~ , то есть большая по сравнению с 1 величина чисел . В уравнении энергии (7.4) полагаем, что тепловые потоки из-за теплопроводности имеют такой же порядок что и конвективный тепловой поток. Тогда слагаемое имеет порядок 1 и, следовательно, λ имеет порядок δ².

Таким образом, оставляя в уравнениях слагаемые, имеющие большие порядки, а именно в (7.2) порядка 1, в (7.3) порядка и в (7.4) порядка 1 и пренебрегая слагаемыми меньшего порядка систему сопряженных дифференциальных уравнений сжимаемых динамического и теплового пограничных слоев:

- уравнение неразрывности

(7.5)

- уравнение движения в проекции на ось х

(7.6)

- уравнение движения в проекции на ось у

(7.7)

- уравнение баланса энергии

(7.8)

Замыкающим уравнением является уравнение состояния

ρ = ρ (р,Т) (7.9)

Система уравнений (7.5) – (7.9) содержащее 5 неизвестных ρ (х, у), U_x (х, у), U_y (х, у), р (х, у), Т (х, у) является замкнутой при известных μ(т), λ(т), Ср(т) и относится к системам уравнений параболического типа.

Граничные условия в задачах расчета пограничных слоев задаются в следующем виде:

- в сечении при входе на рассматриваемый участок пограничного слоя задаются профили продольной скорости и температуры

при х = 0, U_x = U_x0(y), Т =Т₀(у), а также профиль поперечной скорости у = U_у0(y), удовлетворяющий уравнению неразрывности.

- на твердой стенке

при у = 0, U_x = U_xст(х), U_у = U_уст(х), Т =Т_ст(х), в частном случае условий «прилипания» жидкости на стенке U_xст = U_уст = 0

- на внешней границе пограничного слоя

у→ ∞ (у >δ, у >δ_т), р = р_∞(х), Т = Т_∞(х)

Скорость потока на внешней границе пограничного слоя находится из уравнения Бернулли для газа

, (7.10)

где К – показатель адиабаты газа. Система уравнений (7.5) – (7.9) с выписанными граничными условиями решается численно стандартным методом конечных разностей, методом контрольных объемов и другими.

Для несжимаемой жидкости плотность ρ = ρ₀ = соnst и система уравнений пограничного слоя (7.4) – (7.8) упрощается:

(7.11)

- уравнение движения в проекции на ось х

(7.12)

- уравнение движения в проекции на ось у

; (7.13)

- уравнение энергии

(7.14)

Для калорически совершенного (идеального) газа уравнение состояния

(7.15)

и удельная энтальпия i равна

i = CpT

Полагая удельную массовую изобарную теплоемкость Ср постоянной, умножая (7.6) и складывая почленно результат с (7.8) получим уравнение энергии в форме Широкова

(7.16)

где - число Прандтля - температура адиабатического λ по скорости U_x.