Модель фон Неймана

В моделі фон Неймана розглядається скінченний набір виробничих процесів вигляду (a , b ), j = 1,…,m, де n -вимірний вектор a =(а , а ,…, а ) описує витрати, а n -вимірний вектор b =(b , b ,…, b ) описує випуск продукції при функціонуванні даного процесу з одиничною інтенсивністю. Виробничі процеси (a , b ) будемо називати базисними. Координати векторів a , b – невід’ємні: а , b ≥ 0, i = 1,…,n, j = 1, 2,…, m.

Введемо до розгляду прямокутні матриці А = (а ), В = (b ), А ≥ 0, В ≥ 0. Вектори a та b є стовпцями матриць А та В відповідно.

Кажуть, що технологію моделі задає пара невід’ємних матриць (А, В). Матрицю А називають матрицею витрат, а матрицю В – матрицею випуску.

На підставі базисних процесів побудуємо новий процес, в котрому витрати і випуск є лінійною комбінацією відповідних векторів a , b :

= (Ах, Вх) (1)

де вектор х = (х , х , …, х ), х ≥ 0, j = 1, 2, …, m називається вектором інтенсивностей. Будемо при цьому говорити, що j –й базисний процес (a , b ) приймає участь в процесі (Ах, Вх) з інтенсивністю х . Літерою С позначимо множину процесів

С = (2)

Модель Леонтьєва є частковим випадком моделі Неймана при n = m, В =І.

Опишемо динаміку моделі фон Неймана.

Припущення1. Модель Неймана лінійна

Через х будемо позначати вектор інтенсивностей, який описує функціонування моделей на проміжку [ t-1, t ]. Будемо розглядати Т періодів часу. В кожен із таких періодів [ t-1, t ] для виробництва продукції застосовується один із процесів множини С, він характеризується певним вибором вектора інтенсивностей x_t.