Модель динамічного міжгалузевого балансу.

Модель Леонтьєва, яку ми розглядали дотепер - статична, тобто в ній не враховано фактор часу. Для того, щоб ефективно вивчати розгорнуті в часі виробничі процеси, слід узагальнити модель Леонтьєва, при цьому доцільно підходити диференційовано до різних галузей господарства, бо є галузі (це в першу чергу галузі фондоутворення – будівництво і машинобудування), які порівняно з іншими мають більший вплив на динаміку розвитку економіки. При побудові багатогалузевих динамічних моделей необхідно врахувати ще і явище запізнення (так званий часовий лаг). Сформульованим вимогам задовольняють в значній мірі модель динамічного багатогалузевого балансу (або π-модель), а також модель Неймана, яку розглянемо далі. Динамічна модель Леонтьєва є частковим випадком моделі Неймана.

Розглянемо економіку, яка виробляє і споживає n типів товарів.

Нехай сукупний запас товарів описується n -вимірним вектором x = (x₁, …, x_n). Технологічні витрати кожної галузі при роботі з одиничною інтенсивністю задамо леонтієвською матрицею А.

Введемо ряд необхідних понять і означень. Через

– позначимо максимально можливий валовий випуск галузі з номером j. Тоді вектор описує сукупний максимально можливий валовий випуск.

– бажаний приріст основної потужності j -ї галузі. Якщо розглянути n -мірний вектор , то матеріальні затрати на приріст основних потужностей всіх галузей будуть дорівнювати вектору

Dη;, де , .

d_ij – витрати i-го товару на одиничний приріст j-ї галузі

При цьому числа d_1jh_j, d_2jh_j, …, d_njh_j показують витрати кожного з товарів необхідні для збільшення потужності j -ої галузі.

Введемо число

l_j трудових затрат, необхідних для випуску одиниці продукції галузі з номером j, а також вектор (l = l₁, l₂, …, l_n), який будемо називати вектором трудових затрат. Літерою

L позначимо загальну кількість найнятих робітників.

Нехай с = (с₁, …,с_n) вектор споживання розрахований на одного працівника, його “натуральна” заробітна плата.

Тоді один з можливих варіантів схеми динамічного міжгалузевого балансу (так звана π-модель) можна подати в такому вигляді:

1. Необхідність дотримання матеріального балансу: якщо в період [ t-1, t ] план описується вектором (x_t, ξ_t, η_t, L_t) ∊ , то в сумі об’єм біжучих виробничих затрат (Ax_t), затрат на фондоутворення (Dξ_t) і заробітної плати L_tс не може перевищувати валового випуску в даному періоді:

Ax_t + Dη_t + L_tс ≤ x_t (1)

2. В кожному з періодів t = 1,2,…,Т валовий випуск обмежений (обмеження зумовлене наявними на цей момент основними потужностями):

x_t ≤ ξ_t-1 (2)

3. Динаміка приросту основних потужностей очевидна:

ξ_t - ξ_t-1 ≤ η_t (3)

4. Обмеження на об’єм трудових ресурсів, які зайняті в процесі виробництва:

(l, x_t) ≤ L_t (4)

5. Невід’ємність кожної зі змінних:

(xt, ξt, ηt, Lt) ≥ 0 (5)

При цьому в кожному із співвідношень t = 1,2,…,Т, а ξ₀ – основні потужності галузей, створені на початок процесу. Модель (1) – (5) є безумовно змістовнішою ніж статична модель Леонтьєва. Ця модель є динамічною і в результаті її функціонування ми одержимо деяку послідовність векторів

(x_t, ξ_t, η_t, L_t), t = 1,2,…,Т, яка задовільняє всі обмеження моделі. Таку послідовність будемо називати траекторією. В кінці досліджуваного періоду (в момент часу Т) стан моделі характеризується вектором (x_Т, ξ_Т, η_Т, L_Т) (так званий термінальний стан моделі).

Нехай С₁, С₂, С₃ – задані n -мірні вектори, а С₄ – скаляр. Введемо до розгляду функціонал:

І = (С₁, x_Т) + (С₂, ξ_Т) + (С₃, η_Т) + С₄ L_Т (6)

і поставимо для моделі (1) – (5) таку оптимізаційну задачу: серед всіх траекторій моделі (1) – (5) знайти таку, яка максимізує функціонал (6). При цьому вектор основних потужностей в початковому стані ξ₀ і коефіцієнти термінального функціоналу (С₁, С₂, С₃, С₄) задані.

Описану модель можна подати в компактному записі. Якщо покласти:

= , = ,

= (x, ξ;, η;, L), = (С₁, С₂, С₃, С₄) ∊

то модель (1) – (6) набуває вигляду:

(с, х_Т) → max

≤

≥ 0, t = 1,2,…,Т,

= (0, ξ₀, 0, 0) – заданий вектор