Порівняльна статика моделі Леонтьєва

 

Повернемось знову до звичайної моделі Леонтьєва

(1)

Координати вектора кінцевого попиту можна розглядати як параметри системи (1) і ставити математичну задачу про характер залежності розв’язку х від вектора с: х=х(с).

Матриця А вважається при цьому фіксованою. По суті, мова йде про реакцію системи з технологічною матрицею А на зміну зовнішніх або екзотичних параметрів - координат вектора попиту.

Теорема 1 (про додатність вектора валового випуску в нерозкладній продуктивній моделі Леонтьєва). Нехай в моделі (1) матриця А нерозкладна і продуктивна, вектор попиту с 0, c ≠ 0.

Тоді . Інакше, в нерозкладній продуктивній виробничій системі для задоволення ненульового кінцевого попиту необхідний валовий випуск кожного з товарів в додатній кількості.

▼; Доведення: Для можемо записати:

(2)

Виберемо номер . Тоді за властивостями нерозкладних матриць знайдеться натуральне k таке, що . Тоді а отже і .

▲;

Нехай в моделі (1) в вектора попиту с збільшили першу координату (попит на перший товар зріс), а всі інші координати не змінили, тобто попит на всі інші товари не змінився. Як прореагує на це система і яким буде вектор валового випуску х(с)?

Теорема 2 (про реакцію валового випуску в моделі Леонтьєва на зміну вектора попиту). Нехай матриця А ≥ 0 в моделі (1) нерозкладна і продуктивна.

Якщо а , причому , то

(3)

Причому, якщо максимум в (3) досягається крім j= 1щедля якогось j=i, тобто якщо

при i ≠ 1, то необхідно .

▼; Доведення: Позначимо . Вже відомо, що .

Тоді

.

Позначимо . З нерівності випливає що

Для всякого і за означенням маємо

.

Підставляючи в даний вираз отримаємо

,

або . (4)

Нехай . Покажемо, що 1 S. Тоді (3) буде доведено.

Від супротивного: припустимо, що 1 . Тоді виконується умова , при . Тому, якщо серед чисел знайдуться ненульові, то оскільки , отримаємо

звідки, врахувавши (4), маємо

, (5)

що суперечить означенню .

Таким чином, якщо 1 , то щоб усунути суперечність в (5), треба покласти як тільки , . Останнє означає, що S – ізольована підмножина і матриця A розкладна, всупереч припущенням теореми.

Отже, 1 S.

Припустимо, що i S, i ≠1, . Оскільки , то , при j=1,2,…,n. При цих припущеннях знову з (4) випливає (5). Тому .

▲;

 

 

 

Означення Набір векторів (p^*, w^*, x^*, r^*, c^*) називається станом рівноваги при заданих А, В і функціях попиту c(p, w) та пропозиції r(p, w) якщо виконуються такі умови:

x^* = A x^* + c^*

B x^* ≤ r^*

p^*A + w^*B ≥ p^* (6)

c^* = c(p^*, w^*)

r^* = r(p^*, w^*)

Очевидно, що рівноважний валовий випуск x^* є розв’язком задачі лінійного програмування (2), а рівноважні ціни на фактори w^* - розв’язком двоїстої до неї задачі (3). За теорією двоїстості лінійного програмування значення цих задач рівні, (p^*, c^*) = (w^*, r^*), де (p^*, c^*) – максимальна вартість кінцевої продукції, а (w^*, r^*) – мінімальна вартість первісних факторів. Таким чином, у стані рівноваги національний продукт = національному доходу.

Згідно теорії двоїстості, якщо обмеження задовольняються в точці розв’язку як строга нерівність, то відповідні двоїсті змінні в оптимальному плані є нульовими. Таким чином для прямої задачі (1) маємо

(7)

Ця умова означає, що коли загальний попит на фактор менший наявної пропозиції, то оптимальна оплата цього фактора нульова. Тому підхід лінійного програмування до загальної рівноваги поширюється не тільки на дефіцитні фактори, що мають додатню оплату, але також на вільні фактори, оплата яких = нулю

Для двоїстої задачі аналогічні умови (доповнювальної нежорсткості) записуються таким чином: для j=1, …, n якщо

, то (8)

Тобто, коли товар вироблений із збитком (тобто середні витрати на виробництво, що дорівнюють лівій частині нерівності у твердженні (8), перевищують ціну), то тоді оптимальний випуск цього товару – нульовий, тобто товар не виробляється. Таким чином, підхід лінійного програмування до загальної рівноваги охоплює не тільки товари, що виробляються (при середніх витратах виробництва рівних ціні), але й товари, що не виробляються.

Теорема. Якщо функція попиту c(p, w), функція пропозиції r(p, w) однозначні та неперервні для довільних цін p ≥ 0, w ≥ 0, то стан рівноваги (6) в економіці існує.