ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Задачи определения оптимальных процессов характеризуются двумя наиболее важными особенностями:

1) минимизируемый функционал зависит не только от фазовых координат , изменяющихся непрерывно, но и от управляющих воздействий которые могут быть кусочно-непрерывными функциями с конечным числом точек разрыва первого рода (рис. 3.1);

Рис. 3.1. Управляющее воздействие

2) ограничения на фазовые координаты и управляющие воздействия выражаются в виде неравенств

, .

Это значит, что фазовые траектории и управления могут частично или полностью проходить по границе допустимой области. Физический смысл рассмотрения замкнутой и ограниченной области управления ясен: управляющими параметрами могут служить количество подаваемого в печь топлива,температура реактора, количество подаваемого в колонну пара или флегмы и т.п., которые не могут принимать сколь угодно больших или малых значений.

Каждую функцию , определенную на некотором отрезке времени и принимающую значения в области управления ,будем называть управлением. Так как представляет собой множество в пространстве управляющих параметров , то каждое управление является вектор-функцией, значения которой лежат в допустимой области .

Допустимым управлением условимся называть всякую кусочно-непрерывную функцию со значениями в области управления , имеющую в каждой точке разрыва значение равное пределу слева

и непрерывную на концах отрезка .

Задача с ограничениями, наложенными накоординаты и управления методами классического вариационного исчислениярешаются лишь в частных случаях.

В реальных системах, где управление и фазовые переменные удовлетворяют ограничениям, мощным инструментом решения задачи оптимизации является метод, предложенный в 1956 г. Понтрягиным Л.С., Болтянским Б.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., называемый принципом максимума [1,4].

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности для нелинейных систем, а длялинейных – необходимым и достаточным.

Из многих задач оптимального управления имеют существенное значение три задачи: задача максимального быстродействия, задача управления конечным состоянием и задача управления по минимуму интеграла.

Задачи по минимуму времени, по минимуму интеграла и управления конечным состоянием являются частным случаем задачи минимизации по отношению к одной координате.

Рассмотрим управление процессом n-го порядка

, . (3.1)

Необходимо определить управление, обеспечивающее минимум функционала

. (3.2)

Введем новую переменную уравнением с начальным условием . Интегрируя уравнение, получим

. (3.3)

Тогда задача отыскания минимума функционала (3.2) сводится к задаче отыскания минимума -ой координаты в конечной точке траектории, т.е. при (3.3).

Задачи оптимального управления можно рассматривать как частные случаи более общей задачи отыскания максимума или минимума функционала