Теорема сравнения.

Пусть на интервале . Тогда

1) если сходится, то сходится;

2) если расходится, то расходится.

Доказательство. 1) Если сходится, то существует (конечная) площадь криволинейной трапеции Т под графиком функции . Криволинейная трапеция под графиком функции содержится в Т, следовательно и у нее площадь также конечна. Тем самым интеграл сходится.

2) следует из 1) в силу логического принципа: импликация эквивалентна импликации (черта сверху – отрицание утверждения). Более подробно: если бы интеграл сходился, то и интеграл также бы сходился, согласно первому утверждению. Это, однако, противоречит условию. Противоречие показывает, что интеграл должен расходится. □

Следствие. Пусть функции кусочно непрерывны и имеют неотрицательные значения на полуинтервале . Предположим, что существует предел причём он отличен от 0. Тогда интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Аналогичное утверждение имеет место для полуинтервала (c,b].

Предложение об "эталонных" интегралах. Пусть a>0.

1. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда p>1.

2. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда p<1.

Доказательство. 1. Если , то первообразная подинтегральной функции имеет конечный предел 0 при . По формуле Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов, получаем, что интеграл сходится и равен .

Если , то первообразной подинтегральной функции служит , который не имеет конечного предела на . Для то же самое можно сказать о первообразной .

Аналогично, прямыми вычислениями доказывает второе утверждение.