Интегралы, зависящие от параметра
Интеграл вида
называется интегралом, зависящий от параметра a. В общем случае нижний и верхний пределы также могут зависеть от параметра a: a=a(a), b=b(a). Теорема Лейбница дифференцирования по параметру. Пусть
для любого a ∈ (c,d). Доказательство. Применим теорему Лагранжа:
Здесь 0<θ <1 - зависит от
Лемма. Пусть Доказательство леммы. Фиксируем положительное число δ. Для каждого
Пользуемся здесь тем, что
при любом Продолжим доказательство теоремы. Так как
при Следствие. Общая формула дифференцирования по параметру:
Пример. Обозначим
|
определены и непрерывны при a≤ x≤ b, c≤ a ≤ d. Тогда
, а 
-- бесконечно малая величина при Δa → 0. Тогда
. Тогда 
-- бесконечно малая величина при Δa → 0.
найдем 
такое, что 
для всех пар 
таких, что
. Окрестности 
покрывают отрезок [a,b]. Выберем из них конечную систему с центрами в точках 
(см. раздел «Введение в анализ»). Тогда для 
выполняется неравенство 
при любом 
и любом 
. Действительно, 
принадлежит одной из окрестностей 
, а поэтому для пары 
. Следовательно,
. Это и завершает доказательство леммы.
по лемме, то, переходя к пределу Δa → 0 в равенстве (3), получаем результат.□
. Тогда 
, откуда 
. Замена 
сводит этот интеграл к интегралу вида 
. Полагая здесь 
, получаем Интеграл Дирихле:
