Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Критерий интегрируемости Дарбу





 

Предположим, что функция ограничена на отрезке (). Тогда для любого разбиения () этого отрезка определены числа

Величины

называются нижней и верхней интегральной суммой соответственно. Имеет место неравенство

для любой системы отмеченных точек . Так как точная нижняя грань на подотрезке больше или равна точной нижней грани на отрезке, а точная верхняя грань на подотрезке меньше или равна точной верхней грани на отрезке, то при измельчении разбиения нижняя интегральная сумма увеличивается, а верхняя уменьшается

Следствие. Существуют пределы

; ;

которые называются нижним и верхним интегралом.

Теорема 1. Интеграл существует тогда и только тогда, когда нижний интеграл совпадает с верхним интегралом ( ). В этом случае все три интеграла совпадают.

Доказательство. Импликация "тогда" следует из теоремы о пределе промежуточной последовательности и неравенств (2).

Докажем обратную импликацию. Пусть интеграл равен . Предположим, что S. Тогда , и, кроме того, . Выберем разбиение отрезка [a,b] с таким малым значением параметра l, что и

для любой системы отмеченных точек . Можно выбрать системы (ξi) и (νi) отмеченных точек так, что

Применяя неравенство треугольника, из соотношений (3) получаем .

Тогда


. Это противоречие показывает, что на самом деле нижний интеграл равен верхнему интегралу.□

Пример. Пусть

(функция Дирихле). Эта функция не интегрируема ни на каком отрезке, так как S =0, но .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число подотрезков точками так, что в каждой из точек функция имеет односторонние пределы, а в остальных точках отрезка функция непрерывна.

Теорема 2. Кусочно-непрерывная функция интегрируема на любом отрезке.

Доказательство. Аддитивность интеграла и его нечувствительность к изменению функции в конечном числе точек (см. предыдущий параграф) позволяют свести доказательство теоремы к случаю, когда -- непрерывная функция. Непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна («Введение в анализ»). Это значит, что для любого найдется такое, что как только и Пусть -- разбиение отрезка с параметром меньшим чем , а -- две системы отмеченных точек. Тогда

Отсюда следует, что верхняя интегральная сумма отличается от нижней не более чем на . Можно считать, что настолько мало, что и как только параметр разбиения меньше чем . Тогда

Итак, каково бы мало ни была положительная величина . Это может быть лишь в случае . Остаётся применить теорему 1. □







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 617. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия