Несобственные интегралы
Пусть функция задана на полуинтервале , где , а величина может быть как конечным числом, так и . Предположим, что интегрируема на любом отрезке , . Полагаем по определению и называем это число несобственным интегралом. В случае, когда предел (1) существует, то говорим, что соответствующий интеграл сходится; в противном случае будем говорить, что он расходится. Несобственный интеграл (1) применяется в двух типичных ситуациях. 1) Пусть . Тогда 2) Пусть d∈ ℝ и функция неограничена на полуинтервале . Если на полуинтервале , то несобственный интеграл равен площади неограниченной фигуры -- криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью Ох и слева – вертикальной прямой (см. рис. 1)
Отметим, что если функция на самом деле интегрируема на отрезке (это означает, в частности, что ), то коллизии обозначений не возникает -- несобственный интеграл в смысле (1) будет равен определенному интегралу функции на отрезке . Аналогично определяется несобственный интеграл для функций, определенных на полуинтервале , где и : В примере § 16 мы фактически вычислили несобственный интеграл . Cвойство линейности несобственных интегралов. Если интегралы сходятся, то для любых чисел k и m сходится также и интеграл , и он равен . Это свойство вытекает из свойства линейности предельного перехода. Свойство аддитивности несобственных интегралов. Пусть интегрируема на отрезке для фиксированного и любого такого, что . Выберем точку . Несобственный интеграл сходится в том и только том случае, если сходится несобственный интеграл При этом условии имеет место равенство Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Пусть -- первообразная непрерывной функции на интервале (c,d). Предположим, что существуют пределы Тогда несобственный интеграл сходится, причём Равенство (5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для обычных интегралов и соотношений (4). Пример 1. Вычислим Пример 2. Докажем???
|