Несобственные интегралы

 

Пусть функция задана на полуинтервале , где , а величина может быть как конечным числом, так и . Предположим, что интегрируема на любом отрезке , . Полагаем по определению

и называем это число несобственным интегралом. В случае, когда предел (1) существует, то говорим, что соответствующий интеграл сходится; в противном случае будем говорить, что он расходится.

Несобственный интеграл (1) применяется в двух типичных ситуациях.

1) Пусть . Тогда

2) Пусть d∈ ℝ и функция неограничена на полуинтервале .

Если на полуинтервале , то несобственный интеграл равен площади неограниченной фигуры -- криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью Ох и слева – вертикальной прямой (см. рис. 1)

 

Рис.1 Несобственный интеграл

Отметим, что если функция на самом деле интегрируема на отрезке (это означает, в частности, что ), то коллизии обозначений не возникает -- несобственный интеграл в смысле (1) будет равен определенному интегралу функции на отрезке .

Аналогично определяется несобственный интеграл для функций, определенных на полуинтервале , где и :

В примере § 16 мы фактически вычислили несобственный интеграл .

Cвойство линейности несобственных интегралов. Если интегралы сходятся, то для любых чисел k и m сходится также и интеграл , и он равен .

Это свойство вытекает из свойства линейности предельного перехода.

Свойство аддитивности несобственных интегралов. Пусть интегрируема на отрезке для фиксированного и любого такого, что . Выберем точку . Несобственный интеграл сходится в том и только том случае, если сходится несобственный интеграл При этом условии имеет место равенство

Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Пусть -- первообразная непрерывной функции на интервале (c,d). Предположим, что существуют пределы

Тогда несобственный интеграл сходится, причём

Равенство (5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для обычных интегралов и соотношений (4).

Пример 1. Вычислим

Пример 2. Докажем???