Формула Ньютона-Лейбница

 

Интеграл вида называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда есть первообразная функции :

для любого .

Доказательство. Пусть . Тогда по теореме о среднем

для некоторой точки Следовательно, при , ибо в этом случае , а функция непрерывна.□

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть -- первообразная функции . Тогда

Доказательство. Для функции имеем в распоряжении две первообразных и . По теореме о первообразных (см. § 10) найдется константа такая, что

Подставим в соотношение (3) вместо сначала и получим , а затем подставим в (3) – получим

что и требовалось доказать.

Пример. (см. пример вычисления площади в начале §14).

Замечание. Можно было бы определить логарифм так:

т.е. фактически как первообразную функции , примимающую в точке 1 значение 0. Нетрудно доказать основное правило обращения с логарифмами:

Действительно,

Тогда – это такое число , что (т.е. площадь под гиперболой равна 1), а -- функция обратная к .

5 Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

 

Замена переменной. Пусть -- дифференцируемое отображение c непрерывной производной и такое, что , а -- непрерывная функция, заданная на отрезке . Тогда

Доказательство. Пусть -- первообразная функции . Тогда по формуле замена переменной в неопределенном интеграле функция есть первообразная функции . Применим формулу Ньютона-Лейбница дважды:

-- что и требовалось доказать. □

Пример 1. Вычислим площадь верхнего полукруга радиуса R.

Интегрирование по частям. Пусть и -- дифференцируемые функции на отрезке . Тогда

Доказательство. Соотношение проинтегрируем от до b получим что эквивалентно (2).

Пример 2. Вычислим

Заметим, что при условии