Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Графические модели прямых общего положения и их изобра-зительные свойства




(рис. 9.8, 9.9)

Если обе проекции прямой явля-ются прямыми, не параллельными и не перпендикулярными к осям проекций или вертикальным линиям связи, то изображенная ими прямая занимает в пространстве общее положение ( рис. 9.8).

 

 

Рис9.9. Геометрическая модель идеи способа прямоугольного треугольник

 

 

Рис.9.10. Правило прямоугольного

треугольника

 

 

Если отрезок прямой не параллелен плоскости проекций, то длина его орто-

гональной проекции на эту плоскость не равна длине самого отрезка, а мень-ше неё на косинус угла его наклона к этой плоскости.

Из рис 9.9. видно, что отрезок АВ является ребром некоторого тетраэдра АВСD, по которому пересекаются две его грани в виде прямоугольных тре-угольников АВС и АВD, катеты ВС и АD которых являются соответственно гори-зонтальной и фронтальной линиями уровня, метрически равными горизонта-льной и фронтальной проекциям отрез-ка АВ.

Углы между гипотенузой АВ и прилежащими катетами ВС и АD метрически равны натуральным величинам углов

наклона отрезка АВ к П2 и П1, а длина гипотенузы АВ этих треугольников равна длине отрезка АВ общего положе-ния. Для графического по-строения гипотенузы пря-моугольного треугольника не-обходимо иметь два его кате-та. Информация о этих катетах непо-средственно присутствует на комплек-сном чертеже. Ведь прилежащий к углу наклона катет равен данной проекции отрезка, а противолежащий равен раз-ности расстояний другой его проекции до оси проекций.

Отсюда вытекает правило прямо-угольного треугольника для опреде-ления длины отрезка прямой общего положения и величин углов его наклона к плоскостям проекций по его ортого-нальному комплексному чертежу (рис. 11.9):

Натуральной величиной отрезка

прямой общего положения является длина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним из катетов ко-торого является одна из проекций этого отрезка, а второй катет ме-трически равен разности расстояний концов другой его проекции до оси про-екций.

Натуральной величиной угла j° на-клона отрезка АВ к плоскости П1 явля-ется значение угла между горизонталь-ной проекцией отрезка и его натураль-ной величиной.

Натуральной величиной угла y° на-

клона отрезка АВ к плоскости П2 явля-

ется значение угла между фронтальной проекцией отрезка и его натуральной величиной.

Утверждение 9.4.Ортогональ-ные проекции отрезка прямой обще-го положения не содержат в себе не-посредственной информации о его метрике, но содержат все необходи-мые данные для её определения.

 

9.5.Графические модели простейших двухэлементных систем из точек и прямых и их изобразительные свойства

Двавозможных варианта систем из точек и одной прямой

1. А, В, С,…Î а; 2.А,В,С,…Ï а.

Рис.9.11. Геометрическая модель

системы из точек и прямой

Точка, не принадлежащая прямой, может быть над, под, перед, за, правее, правее и выше (ниже, дальше, ближе) и левее (ниже, дальше, ближе) этой пря-мой.

Утверждение 9.5.Если точка принадлежит прямой, то одноимен-ные проекции этой точки и этой пря-мой инцидентны (рис. 9.12)

А Î а Þ А1 Î а1 , А2 Î а2 .

 

Рис.9.12.Графическая модель системы из точек и прямой

Утверждение 9.6.Если точка не при-

надлежит прямой, то одна или обе её проекции не принадлежат соответст-вующим проекциям этой прямой (рис. 9.12).

Рис.9.13. Геометрические модели

систем из двух прямых

 

Рис. 9.14. Графические модели двух параллельных прямых

 

Рис. 9.15.Графические модели двух пересекающихся прямых

 

А Ï а Þ А1 Ï а1 , А 2 Ï а 2 ;

А Ï а Þ А1 Î а1 , А 2 Ï а 2 ;

А Ï а Þ А1 Ï а1 , А 2 Î а 2.

 

9.6. Геометрические модели систем из двух прямых(рис. 9.13)

1. а || b; 2. с ´ d = K;

3. a ^ b;4. a @ b.

 

Относителтьно друг друга прямые мо-гут быть параллельными, пересекаю-щимися, в том числе, и под прямым уг-лом, и скрещивающимися.

Относительно плоскостей проекций прямые этих систем могут занимать как частные, так и общее положение.

 

1.Параллельные прямые ( рис.9.14):

 

1.1. ( a || П1 ) || ( b || П1 );

1.2. ( a || П2 ) || ( b || П2);

1.3. ( aП1; П2 ) || ( b П1; П2 ).

 

Утверждение 9.7.Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны.

a || b Þ a1 || b1 , a2 || b 2 .

 

2.Пересекающиеся прямые (рис 9.15):

 

2.1. ( h || П1 ) х ( f || П2 ) = K;

2.2. ( aП1) x ( f || П2 ) = K;

2.3. ( a П1, П2 ) x ( bП1, П2) = K.

2.4. ( h Î П1 ) x ( f Î П2 ) = u12.

 

Утверждение 9.8. Если прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции также пересе-каются, а разноименные проекции то-чки их пересечения лежат на одной вертикальной линии связи.

3. Перпендикулярные прямые

(рис. 9.16)

3.1. ( а || П1 ) ^ ( b || П1 ) = А ;

3.2. ( aП1 ) ^ ( b ^ П1 ) = K ;

3.3. ( m || П1) ^ ( n || П1) = L ;

3.4. ( a || П2 ) ^ ( b || П2 ) = N ;

3.5. ( l || П2 ) ^ ( k || П1) = K ;

3.6. ( c || П2 ) ^ ( dП2 ) = K ;

3.7. (a ^ П1 ) ^ ( b ^ П2 ) = K ;

Рис.9.16. Графические модели взаимно-перпендикулярных прямых

 

Геометрическая модель системы из двух взаимно-перпендикулярных пря-мых предполагает такие 7 вариантов их расположения в пространстве, когда прямой угол между ними проецируется в прямой угол между их проекциями (рис.9.16).

Утверждение 9.9.Прямой угол проецируется в натуральную величи-ну на ту плоскость проекций, по отно-шению к которой либо обе его сторо-ны, либо одна из них параллельна.

Изобразительной особенностью комплексного чертежа прямого линей-ного угла является наличие на нем двух прямых углов. Один между одной из проекций его стороны -- линии уровня и вертикальной линией связи, второй, – собственно изображаемый угол.

8-й вариант расположения

сторон прямо-

го угла пред-

полагает их

общее поло-

жение. В этом

случае пря-

мой угол бу-

Рис. 9.17.Угол междудет проециро-

прямыми а и b непрямой ваться в ту- или острый, но не в прямой (рис. 9.17).

Рис. 9.18. Графические модели двух

скрещивающихся прямых

 

 

Рис. 9.19.Геометрическая модель горизонтально-проецирующей плоскости

Отсюда следует утверждение 9.10:

Если между одноименными проекциями двух пересекающихся прямых прямые углы, то изображенный угол между этими прямыми в пространстве не яв-ляется прямым.

Задача на построение проекций прямого угла со сторонами общего по-ложения является позиционной, тре-бующей выполнения последовательных графических операций, и поэтому будет рассмотрена выше (см. рис.10.35) .

4.Скрещивающиеся прямые (рис.9.18).

 

Для того, чтобы прямые в прост-ранстве скрещивались, необходимо на-рушить в их расположении условия параллельности и пересечения.

4.1. ( a || П1 ) ∸ ( b || П1 );

4.2. ( aП3 ) ∸ ( b П1, ∦П2 );

4.3. ( aо.п.) ∸ ( b || П1);

4.4. ( aо.п.) ∸ ( b о.п. );

4.5. ( a || П1 ) ∸ ( bП1);

4.6. ( a || П1) ∸ ( bП2 ).

Это означает, что на их комплекс-ных чертежах должны отсутствовать графические признаки таких располо-жений. (см. утверждения 9. 7 и 9. 8).

 

Утверждение 9.11.Если прямыев пространстве скрещиваются, то их одноименные проекции в общем случае пересекаются, но разноименные про-екции точек их пересечения не лежат на одной вертикальной линии связи.

Возникает вопрос: что изображаютточки пересечения одноименных проек-ций двух скрещивающихся прямых?

Ответ: Они изображают такие две точки на этих прямых, которые лежат на одном проецирующем луче.

 

Определение 9.4.Точки двух скре-

щивающихся прямых, лежащие на од-ном проецирующем луче, называются к о н к у р и р у ю щ и м и.

На основе анализа взаимного рас-положения конкурирующих точек двух скрещивающихся прямых определяют

видимость этих прямых в составе не-

сквозных пространственных систем.

Пример 9.1.: Определить проекции не-видимых рёбер тетраэдра ( рис.9.20 ).

 

Рис.9.20. Анализ положения конкурирующих точек

 

Анализ условия: На горизонтальной проекции тетраэдра пересекаются проек-ции скрещивающихся рёбер АD и ВС в точке, где 11 º 21;

На фронтальной проекции тетраэдра пересекаются проекции скрещивающихся прямых АС и ВD в точке, где 32 º 42 .

Решение: 1. Определив фронтальные проекции 12 и 22 конкурирующих точек 1 и 2 на рёбрах ВС и АD, видим, что точка 1 на ребре ВС дальше от П1, чем точка 2 на ребре АС и поэтому на виде сверху про-екция В1С1 будет видимой, а проекция

А1D1 - невидимой.

2. Определив горизонтальные проек-ции 31 и 41 конкурирующих точек 3 и 4 на рёбрах АС и ВD, видим, что точка 3 на ре-бре АС дальше от П2 , чем точка 4 на ребре АС и поэтому на виде спереди проекция А2D2, будет видимой, а проекция А2С2 - невидимой.

 

Утверждение 9.12.На комплек-сном чертеже непрозрачного гранного объекта видимыми будут те проекции его скрещивающихся рёбер, конкуриру-ющие точки которых расположены в пространстве дальше от соответст-вующих плоскостей проекций.

Это происходит потому, что, распо-лагаясь по направлениям проециро-вания дальше от плоскостейпроекций, они закрывают собой те конкурирующие точки, которые ближек этим плоскос-тям и поэтому невидимы. Определение видимости проекций элементов на чер-тежах пространственных систем обяза-тельно.

 

Рис. 9.21. Геометрическая модель фронтально-проецирующей плоскости

 

 

Рис.9.22. Геометрическая модель профильно-проецирующей плоскости

 

Рис.9.23. Геометрическая модель горизонтальной плоскости уровня

 

Рис.9.24. Геометрическая модель фронтальной плоскости уровня







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 203. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия