Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или. Квадратный корень из дисперсии, равный, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание[1][2].

Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;

Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов:

Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;

Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;

Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где — их ковариация;

Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где;

В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины…

Среднеквадратическое отклонение

Моменты случайной величины

Ковариация

Выборочная дисперсия

Независимость (теория вероятностей)

Скедастичность

Абсолютное отклонение