Понятие о частных производных

 

Пусть дана функция нескольких переменных f = f (x, у, z, …). Если зафиксировать значение всех независимых переменных, кроме одной, то f станет функцией этой одной переменной и по ней можно брать производную по известным правилам. Такие производные называются частными. Другими словами,

– частная производная по переменной х от функции f,

– частная производная по переменной у от функции f,

– частная производная по переменной z от функции f и т. п.

Символы или (x, y, z, …) для функций нескольких переменных не имеют смысла, так как небходимо обязательно указывать, по какой именно переменной производится дифференцирование. Частная производная (например, по х) обозначается:

; ; (x, y, z, …),

однако первые два обозначения из них предпочтительнее.

Отметим, что правила вычисления частных производных от конкретных функций совпадают с правилами, применяемыми для функций одной переменной, только требуется каждый раз помнить, по какой переменной берется производная, а к остальным переменным относиться как к постоянным.

Примеры.

Дана функция нескольких переменных; требуется найти частные производные по всем переменным.

1. f (x, y) = x ²sin y.

= 2 x sin y (здесь y рассматривается как постоянная);

= x ²соs y (здесь х рассматривается как постоянная).

2. f = x^y.

= yx^{y –1} (здесь y рассматривается как постоянная);

= x^y ×ln x (здесь х рассматривается как постоянная).

3. f = x ² + z ² + xz³ – .

= 2 x + z ³ (здесь z и y рассматриваются как постоянные);

= (здесь х и z рассматриваются как постоянные);

= 2 z + 3 xz ² – (здесь х и y рассматриваются как постоянные).

 

Приложение 5