Вычисление средней квадратической погрешности (ошибки) функции измеренных величин по частным формулам

 

1. Если задана функция вида и изве­стны или заданы СКП (СКО) измерений то СКП (СКО) функции рассчитывается по частной формуле:

Задача 40. Для расчета поправки магнитного компаса пользуются формулой:

где - магнитное склонение;

- остаточная девиация магнитного компаса.

Определить, с какой СКП (СКО) будет вычислена поправка магнитного компаса, если

Решение. 1. Составим расчетную формулу для :

2. Подставим в нее числовые значения СКП (СКО):

Когда для измерения величины требуется произвести ряд последовательных физических операций, каждая из которых выполняется со случайной погрешностью (ошибкой) , то для оценки точности конечного результата измерения вели­чины X необходимо квадратически сложить СКП (СКО) результа­тов промежуточных операций.

Задача 41. На морской навигационной карте масштаба 1:1500 000 измерен отрезок линии пути. Вычислить СКП (СКО) измерения этого отрезка, если принять:

СКП (СКО) совмещения острия измерителя с концом отрезка
мм;

СКП (СКО) отсчета на боковой рамке карты мм.

Решение. Измерение отрезка на карте состоит из двух операций. Вначале острия ножек измерителя совмещаются с концевыми точками отрезка. Каждое совмещение сопро­вождается погрешностью (ошибкой) поэтому

мм.

Затем производится оценка длины отрезка по боковой рамке карты в морских милях (минутах широты) или кабельтовых. С этой целью одно острие измерителя совме­щается со штрихом шкалы, выражающим целое число миль, а по второму острию, как по индексу, делается отсчет десятых долей между двумя другими смежными штрихами. Совмещение сопровождается погрешностью (ошибкой) , а отсчет - .

В связи с этим

мм.

Ошибка измерения отрезка

мм.

Расчет погрешности (ошибки) , может быть выполнен и несколько иначе:

мм.

Погрешности (ошибке) мм измерения отрезка пути на кар­те со знаменателем масштаба соответствует на местности погрешность (ошибка)

кб.

 

II. Если задана функция вида и аргу­менты измерены с равными СКП (СКО) то СКП (СКО) функции рассчитывается по частной формуле:

(14)

где число аргументов.

Задача 42. Суммарный угол сноса судна в резуль­тате одновременного действия течения и дрейфа рассчиты­вается по формуле:

где - угол дрейфа;

- угол сноса течением.

Рассчитать СКП (СКО) угла сноса, если .

Решение Поформуле (14) получим:

 

III. Если задана функция вида и известна СКП (СКО) аргумента, СКП (СКО) функции рассчитывается по формуле:

(15)

Задача 43. Рабочая крепость троса рассчитывается по формуле:

где k - коэффициент запаса прочности;

R - разрывная крепость троса, кгс.

 

Рассчитать рабочую крепость троса (кгс) и СКП (СКО) при и кгс.

Решение. 1. Рассчитаем рабочую крепость троса: кгс.

2. Вычислим погрешность (ошибку) по формуле (15):

кгс.

Ответ: кгс.

 

IV. Среднюю квадратическую погрешность (ошибку) функции вида

где , - переменные величины, вычисляют по формуле:

(16)

которую получают из общей формулы СКП (СКО) функции.

Относительную погрешность (ошибку) функции вычисляют по формуле:

(17)

Формула (17) может быть составлена по следующим правилам:

1) исходное выражение вначале логарифмируется,
а затем дифференцируется, например:

и

2) знак производной заменяется соответствующими СКП (СКО), после чего левая и правая части почленно возводятся в квадрат:

Из последнего выражения следует, что для функции рас­сматриваемого вида, т. е. для произведения или частного, квадрат относительной погрешности (ошибки) функции равен сумме квад­ратов относительных погрешностей (ошибок) аргументов.

Задача 44. При плавании во льдах скорость судна V (уз) определяется способом «планширного лага» по формуле:

где L - расстояние, пройденное судном, м;

- время, с.

Вычислить и ,если м; с.

Решение. 1. Рассчитаем скорость судна:

уз.

2. Составим формулу СКП (СКО) функции:

 

3. Подставим числовые значения и выполним расчет:

уз.

Ответ: уз.