Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие частной производной и примеры вычисления частных производных функции нескольких переменных




 

Пусть существует функция нескольких переменных f=f(x,y,z…) и пусть существует некоторая точка М0 с координатами М0(x0,y0,z0…), в которой эта функция определена. Зафиксируем все переменные, кроме первой: f(x,y0,z0…). Тогда предел функции f в точке М0 равен:

.

 

Определение. Если данный предел существует и конечен, то он называется частной производной функции f по переменной x, вычисленной в т x0.

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным:

;

и т.д.

 

Пример. Вычислить частные производные первого порядка для следующих функций:

а) f=(xy)z; б) f=sin(x2+y2); в) .

 

Решение:

а) найдем сначала частную производную функции по переменной x: , тогда все остальные переменные (y и z) зафиксируем, т.е. сейчас будем считать их постоянными величинами. Функцию удобно представить в виде произведения: f=(xy)z=xzyz. Тогда: . Мы вынесли yz за знак производной, как постоянную величину, а затем нашли производную по x от оставшейся степенной функции xz.

Теперь найдем частную производную функции по переменной y: . Теперь зафиксируем переменные x и z. Аналогично первому случаю, разобьем функцию на сомножители: f=(xy)z=xzyz. Тогда: .

Наконец, найдем частную производную функции по переменной z: . Теперь x и y являются фиксированными переменными и функцию f можно рассматривать как функцию вида f=ax. Производная этой функции является табличной и определяется следующим образом: . Для нашей функции это будет выглядеть следующим образом: .

б) найдем сначала частную производную функции по переменной x: , тогда переменная y будет фиксированной величиной. Итак:

. Здесь встретилась сложная функция, и мы сначала нашли производную от внешней функции, а затем от внутренней. При нахождении производной от суммы (x2+y2) помним, что y не меняется и, следовательно, производная от постоянной величины y2 равна нулю.

Теперь найдем частную производную функции по переменной y: . Фиксированной будет переменная x. Аналогично предыдущему получим:

.

в) найдем частную производную функции по переменной x: , тогда y и z – зафиксированные переменные и функцию можно преобразовать следующим образом: . Постоянную величину можно вынести за знак производной и искать производную от произведения . Воспользовавшись правилом определения производной суммы, получим в скобках два слагаемых, в одном из которых нужно искать производную сложной функции . Получим:

.

При определении производной функции по переменной y: , неизменными считаем x и z. Здесь исходную функцию можно преобразовать так: . Мы видим произведение некоторой фиксированной величины (а именно x) на дробь. Теперь для нахождения производной вынесем за знак производной x и воспользуемся правилом для производной дроби:

.

Производная равна нулю, так как сейчас переменные x и z фиксированы, а производная от постоянной величины есть ноль.

Теперь найдем производную функции по переменной z: , постоянными будут величины x и y. Тогда дробь можно вынести за знак производной и искать производную только от . Получим:

.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 527. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия