Понятие частной производной и примеры вычисления частных производных функции нескольких переменных

 

Пусть существует функция нескольких переменных f = f (x, y, z …) и пусть существует некоторая точка М ₀ с координатами М ₀(x ₀, y ₀, z ₀…), в которой эта функция определена. Зафиксируем все переменные, кроме первой: f (x, y ₀, z ₀…). Тогда предел функции f в точке М ₀ равен:

.

 

Определение. Если данный предел существует и конечен, то он называется частной производной функции f по переменной x, вычисленной в т x ₀.

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным:

;

и т.д.

 

Пример. Вычислить частные производные первого порядка для следующих функций:

а) f =(xy) ^z; б) f =sin(x ²+ y ²); в) .

 

Решение:

а) найдем сначала частную производную функции по переменной x: , тогда все остальные переменные (y и z) зафиксируем, т.е. сейчас будем считать их постоянными величинами. Функцию удобно представить в виде произведения: f =(xy) ^z = x^zy^z. Тогда: . Мы вынесли y^z за знак производной, как постоянную величину, а затем нашли производную по x от оставшейся степенной функции x^z.

Теперь найдем частную производную функции по переменной y: . Теперь зафиксируем переменные x и z. Аналогично первому случаю, разобьем функцию на сомножители: f =(xy) ^z = x^zy^z. Тогда: .

Наконец, найдем частную производную функции по переменной z: . Теперь x и y являются фиксированными переменными и функцию f можно рассматривать как функцию вида f =a ^x. Производная этой функции является табличной и определяется следующим образом: . Для нашей функции это будет выглядеть следующим образом: .

б) найдем сначала частную производную функции по переменной x: , тогда переменная y будет фиксированной величиной. Итак:

. Здесь встретилась сложная функция, и мы сначала нашли производную от внешней функции, а затем от внутренней. При нахождении производной от суммы (x ²+ y ²) помним, что y не меняется и, следовательно, производная от постоянной величины y ² равна нулю.

Теперь найдем частную производную функции по переменной y: . Фиксированной будет переменная x. Аналогично предыдущему получим:

.

в) найдем частную производную функции по переменной x: , тогда y и z – зафиксированные переменные и функцию можно преобразовать следующим образом: . Постоянную величину можно вынести за знак производной и искать производную от произведения . Воспользовавшись правилом определения производной суммы, получим в скобках два слагаемых, в одном из которых нужно искать производную сложной функции . Получим:

.

При определении производной функции по переменной y: , неизменными считаем x и z. Здесь исходную функцию можно преобразовать так: . Мы видим произведение некоторой фиксированной величины (а именно x) на дробь. Теперь для нахождения производной вынесем за знак производной x и воспользуемся правилом для производной дроби:

.

Производная равна нулю, так как сейчас переменные x и z фиксированы, а производная от постоянной величины есть ноль.

Теперь найдем производную функции по переменной z: , постоянными будут величины x и y. Тогда дробь можно вынести за знак производной и искать производную только от . Получим:

.