Методом наименьших квадратов

Параметры наилучшей прямой можно определить не только графически, но и аналитически. Наи­лучшая прямая (32) определяется по правилу «наименьших квадратов», т. е. параметрам а и b приписываются такие значе­ния, при которых величина

(37)

имеет минимум[11]. Как известно, функция f (А) принимает минимальное значение при A = A _min, если ее первая производная f '(А) = равна нулю, а вторая производная f" (А) = положительна, при этом значении А = А _min. Для функ­ции многих переменных эти условия заменяются требова­нием, чтобы частные производные, т. е. производные по параметру A_i, удовлетворяли вышеупомянутым услови­ям, причем все остальные параметры A_j (j i) при вычис­лении производных считаются постоянными.

Из условий минимума получаются следующие формулы для нахождения наилучших значений а и b по измеренным значе­ниям х_i,y_i (i= 1, 2,..., п) [6]:

(38)

где

(39)

При расчетах следует помнить, что в числителе первой формулы обычно вычитаются близкие по величине члены, что вызывает необходимость удерживать при вычислениях много значащих цифр.

Для определения параметра k прямой (35), проходящей через начало координат получается следующая формула:

(40)

Формулы для нахождения погрешностей соответствующих параметров a, b, k будут иметь вид:

(41)

где

(42)

Изложенный выше способ применения метода наименьших квадратов можно обобщить и на некоторые случаи нелинейной зависимости.

Например, при изменении температуры T в небольшом интервале зависимость давления насыщающих паров жидкости теоретически может быть представлена в виде

(43)

где L – удельная теплота испарения воды, – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, – некоторая постоянная.

Так как зависимость давления от температуры и теплоты испарения воды является нелинейной, то метод наименьших квадратов следует применять не к самим давлениям, а к логарифмам. Логарифмируя зависимость (43), получим

_.

Сравнивая полученное выражение с формулой для линейной зависимости (32), видим, что и _.

Формулы (38) запишутся следующим образом:

.

Следует, однако, заметить, что аналитический расчет параметров и их погрешностей обычно не избавляет от необходимости строить графики, так как только с их помощью можно получить представ­ление о полученной зависимости, отметить наличие существенных особенностей и т.д.