Элементарный вывод формулы Лапласа

Формулу Лапласа можно получить достаточно просто, если рассмотреть механическое равновесие элемента поверхности раздела. На этой поверхности около произвольной точки O (рис. 29) выделяется малый криволинейный четырехугольник. Пусть ON – внешняя по отношению к первой фазе нормаль к поверхности. Через нее проводятся две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекаются с поверхностью раздела по некоторым кривым с радиусами кривизны r ₁ и r ₂ . Малые дуги È A ₁ B ₁ и È A ₂ B ₂ – отрезки этих кривых. Элементарная площадка получается, если через концы дуг провести на поверхности кривые, параллельные плоскостям. На рис. 29 это четырехугольник CDEF. С точностью до малых второго порядка È CD = È FE = È A ₁ B ₁ = ∆ l ₁ и È CF = È DE = È A ₂ B ₂ = ∆ l ₂. Площадь четырехугольника равна ∆Σ = ∆ l ₁× ∆ l ₂. Сила поверхностного натяжения, приложенная к краю CF, в соответствии с формулой (65.2) равна ∆ f ₁ = σ∆ l ₂. Ее проекция на OO ₁ будет

Рис. 29

∆ f ₁ sin φ₁» ∆ f ₁ φ₁ = ∆ f ₁ ∆ l ₁ / (2 r ₁) =

= σ / (2 r ₁) × ∆Σ.

Такое же значение имеет проекция силы натяжения, действующей по краю DE. Поэтому результат удвоится (ради простоты считается, что дуги È A ₁ B ₁ и È A ₂ B ₂ делятся точкой O пополам). Аналогичным образом находится проекция сил поверхностного натяжения, приложенных по CD и FE. В результате сила давления, действующая на первую фазу со стороны элемента изогнутой поверхности, равна σ (1/ r ₁ + 1/ r ₂) × ∆Σ и для давления получается формула Лапласа.