I. Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Динамика относительного движения точки

Методические указания для иностранных студентов

 

 

Ростов-на-Дону

 

УДК 531.01

 

Динамика относительного движения точки: Методические указания для иностранных студентов. – Ростов н/Д: Ростовский государственный строительный университет, 2007. – 19 с.

 

Предназначены для иностранных студентов, испытывающих трудности при записи лекций по теоретической механике. Даны основные определения, формулировки теорем. Рассмотрены типовые задачи.

УДК 531.01

 

 

Составитель: канд. физ.-мат. наук М.Ю. Ремизов

Рецензент: канд.физ.-мат. наук Е.Б. Русакова

 

 

Редактор Т.М. Климчук

Темплан 2007 г., поз. 157

Подписано в печать 08.06.07. Формат 60х84/16. Ризограф.

Бумага писчая. Уч.- изд. л. 1,0.

Тираж 50 экз. Заказ 309.

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

 

 

© Ростовский государственный

строительный университет, 2007

I. Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Известно, что силы, действующие на точку и являющиеся результатом взаимодействия ее с другими телами, не зависят от выбора системы координат и определяются соответствующими физическими законами взаимодействия. Например, сила тяготения зависит от масс взаимодействующих тел и расстояния между ними; сила упругости – от величины деформации пружины; сила сопротивления среды – от скорости тела относительно среды. Массы тел, расстояния между точками, деформации пружины в классической механике во всех системах координат – одни и те же величины.

Ускорение точки зависит, как известно из кинематики, от выбора системы координат. Следовательно, закон, связывающий ускорение материальной точки и действующие на нее силы, не инвариантен относительно выбора системы отчета.

Обозначим равнодействующую всех непосредственно приложенных к рассматриваемой материальной точке сил вектором . Эти силы создают абсолютное ускорение точки в «неподвижной» системе координат. Уравнение движения точки

(1)

 

В качестве «неподвижной» может быть взята система координат, начало которой находится в центре инерции Солнечной системы, а оси направлены к трем неподвижным звездам.

В инженерной практике часто встречаются задачи, когда требуется изучить движение материальной точки (тела) по отношению к подвижному пространству. Например, движение подвижных частей приборов, установленных на движущихся объектах, расчет траекторий космических летательных аппаратов по отношению к подвижным системам координат, связанным с планетами, и др.

Постановка задачи. Зная действующие на точку силы и движение подвижной системы координат, найти закон относительного движения точки.

Пусть - условно неподвижная система координат (с.к.), x,y,z - подвижная с.к. (рис. 1). M

Z

A

 

O

 

Y

X

Рис. 1

 

Напомним, что движение точки М относительно подвижной системы координат называется относительным; движение точки М вследствие движения подвижного пространства называется переносным; движение точки М относительно неподвижной системы координат называется абсолютным.

Из кинематики известно, что самое общее движение свободного твердого тела (мы его связываем с подвижной системой координат) можно представить состоящим из поступательного движения вместе с какой-либо тела (А) и вращательного движения вокруг этой точки.

Абсолютное ускорение т. М находится по формуле

 

, (2)

где , - соответственно относительное, переносное и кориолисово ускорения, причем относительное ускорение находится по формулам кинематики точки, переносное – как ускорение точки свободного твердого тела, ускорение Кориолиса – по формуле

Здесь - угловая скорость переносного движения, - относительная скорость точки.

Подставляя (2) в (1), после простых преобразований получим

 

. (3)

 

Введем обозначения:

 

, . (4)

 

Величины , по размерности являются силами. Назовем их соответственно переносной и кориолисовой (поворотной) силами. Тогда предыдущее уравнение примет вид

 

. (5)

 

Уравнение (5) выражает основной закон динамики для относительного движения (динамическая теорема Кориолиса).

В подвижной системе отсчета основной закон динамики не выполняется; но если к действующим на точку силам взаимодействия с другими материальными точками присоединить переносную и кориолисову силы инерции и , то уравнения движения в подвижной системе отсчета можно составлять так, как если бы она была неподвижной.

Важно понимать, что в неподвижной системе отсчета материальная точка может иметь ускорение только вследствие одной причины – действия на нее сил, т.е. взаимодействия с другими материальными телами. В подвижной системе отсчета причин две: действие сил (динамическая причина) и движение самой системы отсчета (кинематическая причина). Действительно пусть (на точку силы не действуют или они уравновешены), тогда

,

т.е. точка будет иметь ускорение по отношению к подвижной системе только за счет движения последней, а не в результате действия каких-то сил.

Таким образом, невыполнение в подвижной с.к. основного закона динамики связано с тем, что по отношению к этой системе точка получает ускорение не только в результате действия силы, но и вследствие движения самой системы отсчета.