Следствия теоремы о базисном миноре. Линейная зависимость системы столбцов матрицы, ранг

которой меньше числа столбцов. Теорема о ранге матрицы.)

Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.

 

 

 

№11 (Методы элементарных преобразований и окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.)

 

 

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

 

1) перестановка строк (столбцов);

 

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

 

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k -го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k +1)− го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k +1)−го порядка, и вся процедура повторяется.

 

 

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме a11, a22,..., arr (r≤min(m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.

 

 

№12 (Совместность СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.)

 

СЛАУ называется совместной, или разрешимой, если она имеет, по крайней мере, одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

№13 (Однородные СЛАУ. Свойства решений. Условие нетривиальной совместности. Ядро матрицы.)