Условие нетривиальной совместности. Ядро матрицы

Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору. Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений.

Ядром матрицы A являются все решения уравнения AW=0.

 

№14 (Фундаментальная система решений однородной СЛАУ (ФСР). Теорема о существовании ФСР)

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Количество элементов в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы. Любое решение исходной системы есть линейная комбинация решений ФСР.

Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.

 

 

№15 (Теорема об общем решении однородной СЛАУ)

Общим решением линейной системы называется выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы.

 

№16 (Алгоритм решения однородных систем линейных алгебраических уравнений.)

1) Выражаем одно из неизвестных (пусть первое ) из какого-нибудь )

 

2) Подставляем это неизвестное в другое уравнение из системы (пусть во второе)

 

 

Теперь во второй строке мы таким образом избавились от переменного

значит, в этом уравнении осталось неизвестных:

 

3) Выражаем любое из этих неизвестных (пусть ) из второго уравнения системы и подставляем его в другую строку, отличную от тех, из которых мы уже выражали какие-то неизвестные (допустим, подставим в третью строку):

 

Вот такое страшное выражение получится, если честно раскрыть все скобки и выразить в общем виде.

 

4) Подставляем выражение для в следующее уравнение (уравнение 3), выражаем оттуда следующее неизвестное

 

5) Так проделываем со всеми строками, пока не дойдём до последней. В последней строке у нас останется одно неизвестное (в нашем случае ) Значит, из последней строки мы можем найти численное значение

 

6) Найдя значение неизвестного , подставляем его в предпоследнее уравнение, в котором два неизвестных и . Таким образом, можем найти численное значение

 

7) Подставляем значения и в уравнение, в котором 3 неизвестных — , ,

Следовательно, находим

 

Проделав это со всеми уравнениями, мы найдём все корней , ,..., ,

 

 

№17 (Теорема об общем решении неоднородных СЛАУ)

 

№18 (Алгоритм решения неоднородных СЛАУ.)

№19 (Исследование систем линейных алгебраических уравнений с помощью метода Гаусса.)

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

 

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

 

Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

 

На 1-м шаге метода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого.

 

Будем называть его главным элементом 1-го шага.

 

Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, …, n), называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, …, qn1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

 

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

 

a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

 

a33x3 + … + a3nxn = b3

 

………………………………………

 

annxn = bn

 

Матрица A является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

 

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим xn–1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим xn–1, xn–2, …, x1.

 

№20 (Векторная алгебра. Основные определения. Линейные операции над векторами.)

 

Опр.1 Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину.

Опр.2 Длиной вектора АВ называется его модуль и обозначается символом АВ. Модуль

вектора а обозначается а.

Опр.3 Вектор называется единичным, если его длина равна единице, т.е. а 1. Вектор

называется нуль - вектором, если его длина равна нулю, т.е. а 0, обозначается 0 (нуль

– вектор не имеет направления, его начало и конец совпадают).

Опр.4 Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или

параллельных прямых, в противном случае вектора – неколлинеарные. Три вектора

называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной

плоскости, в противном случае вектора – некомпланарными.

Опр.5 Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково

направленные и имеют одинаковую длину

Опр.6 Вектор, образованный из данного вектора параллельным переносом, называется

свободным.

Линейные операции над векторами. Линейными операциями называются операции

сложения векторов, вычитания векторов и умножение вектора на число.

Опр.7 Суммой нескольких векторов называется вектор, по величине и направлению

равный замыкающей ломаной линии, построенной на свободных векторах,

соответствующих данным векторам, его начало совпадает с налом первого, а конец с

концом последнего

 

№21

Набор векторов называется системой векторов. Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства тривиальная.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

№22

Пусть на плоскости задан ненулевой вектор , тогда для любого вектора , лежащего на этой же прямой, существует единственное вещественное число , такое, что

При этом называют базисным вектором, – координатой относительно базиса

Если на плоскости заданы два ненулевых, неколлинеарных вектора и , то для любого вектора ,, лежащего в этой же плоскости, существует единственная пара чисел и таких, что

При этом совокупность называется базисом, – координатами относительно этого базиса.

 

Если в пространстве заданы три ненулевых, некомпланарных (а, следовательно, линейно независимых) вектора , то для любого вектора существует единственная тройка чисел таких, что

 

№24

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается

Где — величина угла между векторами и

 

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом.