Действия над матрицами

1) Сумма матриц. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, элементы которой находятся по формуле:

Обозначается

2) Разность матриц. Разностью матриц и одинакового размера называется такая матрица , что

3) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица , получающаяся из умножением всех ее элементов на

4) Произведение матриц. Пусть даны две матрицы и размерностей и соответственно, причем число столбцов равно числу строк . Такие матрицы называются согласованными. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой находятся по формуле: . Обозначается

 

 

5) Транспонирование матрицы. Матрица , полученная из данной матрицы A заменой каждой строки на столбец с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной матрице А. Иными словами, при транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами.

№2 (Перестановки и подстановки. Понятия инверсии и четности.)

№3 (Определитель. Определение, свойства.)

 

Квадратной матрице n – го порядка ставиться в

 

соответствие число , называемое определителем матрицы или детерминантом.

 

Свойства определителей:

 

1) При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

 

2) Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

 

3) То есть, если квадратная матрица n – го порядка умножается на некоторое ненулевое число то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

 

4) Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

 

5) Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

 

 

6) Определитель с двумя равными строками равен нулю

 

 

7) Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

 

 

8) Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

 

 

9) Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

 

Пусть задан определитель третьего порядка Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

 

 

10) Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

 

 

11) Определитель произведения матриц равен произведению определителей: