Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.

y

M1(x 1, y 1)

Найти расстояние d от данной точки М₁(x ₁, y ₁) до данной прямой l Ax+ By + C =0 можно по формуле (рис. 4):

l

d

d= (7)

M2(x 2, y 2)

x

Точка М₂(x ₂, y ₂) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М₁(x ₁, y ₁) на прямую. Угловой коэффициент прямой М₁М₂ равен = .

Координаты точки М₂(x ₂, y ₂) находим из Рис. 4

решения системы уравнений

(8)

Введем замену: u = x ₂ - x ₁; v = y ₂ - y ₁. Тогда (7) и (8) можно записать в виде

d= ; (9)

Au + Bv + Ax ₁ + By ₁ + C = 0;

Au - Bv = 0.

Решая систему из двух последних уравнений, находим

u = - ;

v = - .

Подставив эти значения в (9), получим

d= = . (10)

Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3 x- 2 y -9 = 0.

Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10):

d= = = . ■

2[кроме ФЭУ]. Кривые второго порядка.

 

Уравнение вида

Ax ²+ Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0, (11)

если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

2.1. Окружность.

Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М ₀(x ₀, y ₀). Найдем ее уравнение. Для любой точки М (x, y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ ₀ =R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R= (рис. 5).

Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид:

y

. (12)

M0

Если центр окружности лежит в начале координат, то x ₀= y ₀= 0, а уравнение окружности приобретает вид x ² + y ² = R ².

x

Пример 9. Составить уравнение окружности радиуса 4 с центром в точке

М ₀(0,-3).

Рис. 5

Решение. В данном случае x ₀ = 0, y ₀ = -3,

R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид . ■

Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x ²+ y ²+6 x- 2 y+ 5=0.

Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x ²+6 x+ 9)+(y ²-2 y+ 1)+5-9-1=0. Отсюда . Таким образом, данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиуса R= с центром в точке (-3,1). ■

 

2.2. Эллипс.

Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.

Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2 с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид

. (13)

Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF ₁+ MF ₂ = 2 a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F ₁ и F ₂ находятся на расстоянии с = от центра эллипса О (при этом предполагается, что a > b). Отношение = e называется эксцентриситетом эллипса (e < 1).

M(x,y)

-a

a

y

Если М (x, y) - произвольная точка эллипса, то отрезки MF ₁ и MF ₂ (рис. 6) называются фокальными радиусами точки M и определяются по формулам

MF ₁ = a + e x, MF ₂ = a- e x. (14)

-b

Замечание. Если a = b, то уравнение (13) определяет окружность, рассматриваемую как

частный случай эллипса. При этом Рис. 6

эксцентриситет окружности e = 0.

Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М ₁(4,- ) и М ₂(2 ,3), а также найти расстояние между фокусами и эксцентриситет эллипса.

Решение. Подставляя координаты точек М ₁ и М ₂ в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:

, .

Решая эту систему находим полуоси a= и b = . Искомое уравнение эллипса . Находим, далее, с = и расстояние между фокусами 2 с =2 . Эксцентриситет эллипса e = = = =0,5. ■

Пример 12. Убедившись, что точка М (-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М.

Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса , получаем верное равенство, доказывающее, что М - точка эллипса. Фокальные радиусы точки М находим по формулам (14), полагая a= 5, b =4, с = = =3, e = = :

MF ₁ = a + ex = 5+ ×(-4) = 2,6; MF ₂ = a-ex = 5- ×(-4) = 7,4. ■

2.3. Гипербола.

Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а.

В системе координат, изображенной на рис. 7, уравнение гиперболы имеет простейший вид

, (15)

называемый каноническим уравнением гиперболы.

F2 y

F1 y

-a

a y

-b y

b y

y

x

M(x,y)

Уравнение (15) получено из равенства | MF ₁- MF ₂ | = 2 a. Здесь а называется действительной полуосью, b - мнимой полуосью гиперболы; фокусы F ₁ и F ₂ находятся на расстоянии с = от центра гиперболы О (при этом а может быть как больше, так и меньше b). Отношение = e называется эксцентриситетом гиперболы (e > 1).

Прямые y = x и y = - x называются асимптотами гиперболы; при неограниченном продвижении точки М (x, y) вдоль гиперболы в бесконечность расстояние от М до соответствующей асимптоты стремится к нулю.

Расстояния от любой точки М (x, y) гиперболы до ее фокусов F ₁ и F ₂ - фокальные радиусы точки М - определяются по формулам:

MF ₁ = |e x + a|, MF ₂ = |e x - a|. (16)

Две гиперболы, заданные уравнениями

,

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М ₁(6,-1) и М ₂(-8,2 ), и найти ее асимптоты.

Решение. Подставляя координаты точек М ₁ и М ₂ в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:

, .

Из этой системы находим а ² = 32, b ² =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= , а мнимая полуось b = . Искомое уравнение гиперболы . Асимптоты определяются по формуле y = x = x = . ■

Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы , а также расстояния от точки М (-5, ) до фокусов гиперболы.

Решение. Имеем с = = , так что расстояние между фокусами равно 2 с = 10, а координаты фокусов F ₁(-5,0) и F ₂(5,0).

Точка М (-5, ) принадлежит гиперболе (в чём легко убедиться подстановкой её координат в уравнение гиперболы), поэтому искомые расстояния до фокусов вычисляем по формулам (16), полагая в них a = 4, эксцентриситет e = : MF ₁ =| ×(-5) + 4| = ; MF ₂ =| ×(-5) - 4| = . ■

Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x ² - y ² = а ²; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен . Если взять асимптоты равнобочной гиперболы в качестве новых осей координат, то в такой системе координат гипербола представляет собой график обратной пропорциональной зависимости с уравнением , где k= .

2.4. Парабола.

Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС = (рис. 8).

 

 

y

y

K

M(x,y)

 

 

-p/2

x

F y

 

x

-p/2

 

А) Рис. 8 б)

 

В этой системе координат парабола будет определяться уравнением

y ² = 2 px. (17)

Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы (оно получается из равенства FМ=МК). В этой же системе координат фокус данной параболы F (,0), а директриса имеет уравнение x = . Фокальный радиус произвольной точки М (x, y) параболы (то есть длина отрезка FМ) может быть вычислен по формуле MF = x + .

Уравнение x² = 2py или же y = аx² (где а= ), так же как и уравнение (17) представляет параболу, только в этом случае ось параболы совпадает с осью ординат и парабола расположена так, как показано на рис. 8(б). Её фокус F(0, ), а директриса имеет уравнение y= . Если в уравнении y=аx² коэффициент а отрицателен, то ветви параболы направлены вниз.

 

Пример 15. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку М (1,-2) и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы; найти фокальный радиус точки М.

Решение. Подставив координаты точки М (x = 1, y = -2) в уравнение y ² = 2 px, получим 4=2 p×;1, р =2, так что уравнение параболы y ² = 4 x. Уравнение директрисы x = -1. Фокальный радиус MF =1+ 1 =2. ■