В степенной ряд

Если функция на интервале разлагается в степенной ряд

, (2.6.1)

то это разложение единственно.

Доказательство. По условию ряд сходится на интервале и функция - его сумма. Следовательно, по теореме о дифференцировании степенных рядов ряд (2.6.1) можно почленно дифференцировать на интервале любое число раз.

Дифференцируя, получаем:

…………………………………………………………

Здесь нужно заметить, что в свободных членах индексы и факториалы имеют п -й порядок, т.е. тот же порядок, что и производная, а при х в первой степени(п +1)-й порядок.

Полагая в полученных равенствах и в равенстве (2.6.4) , имеем:

Отсюда

(2.6.2)

Таким образом, все коэффициенты ряда (2.6.1) определяются единственным образом формулами (2.6.2), что и доказывает теорему.

Подставляя полученные выражения коэффициентов в равенство (2.6.1), получаем:

(2.6.3)

Итак, если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид (2.6.3), который называется рядом Маклорена для функции .

Если функция разлагается в ряд вида (2.5.3), то соответствующий ряд

(2.6.4)

называется рядом Тейлора. Таким образом, ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора, когда .

Формально ряды Тейлора и Маклорена можно составить для любой функции, имеющей производные любого порядка, и для любой точки из области дифференцируемости, однако полученные ряды не обязательно будут сходиться к этой функции; они могут вообще расходиться. Поэтому, составив такой ряд, вначале не ставят знака равенства между функцией и рядом, а заменяют его знаком соответствия "~":

.

Говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора на интервале (a-R, a+R), если выполняются два условия:

1) на этом интервале ряд сходится;

2) сумма ряда равна функции . В этом, и только в этом случае пишут знак равенства "=" вместо знака соответствия "~" между и рядом, т. е.

. (2.6.5)