Матрица исходных данных для многокритериальных методов выбора

Альтернативы, Ai	Критерии (цели)
Z1	Z2	…	Zn
А1	e11	e12	…	e1n
А2	e21	e22	…	e2n
…	…	…	…	…
Am	em1	em2	…	emn

 

Однако, как было отмечено ранее, доминирующие стратегии т практике встречаются довольно редко. Поэтому приходится применять методы многокритериального выбора, причем решение должно быть наилучшим в определенном смысле. Итак, выделение существенных для модели рассматриваемой экономической системы показателей качества альтернатив выбора, соответствующих поставленным целям, приводит к задаче векторной оптимизации, которая заключается в нахождении максимума вектор-функции:

,

где D – область допустимых решений модели.

В случае многокритериальной оптимизации возникают три проблемы. Первая проблема связана с выбором принципа оптимальности. В математическом отношении эта проблема эквивалентна задаче упорядочения векторных множеств, а выбор принципа оптимальности - выбору отношений порядка. Вторая проблема связана с нормализацией векторного критерия F(х). Дело в том, что частные критерии имеют различные единицы измерения, поэтому их необходимо привести к единому масштабу измерения, т. е. нормализовать(обычно приводят к безразличным величинам). Третья проблема связана с учетом приоритета (степени важности) частных критериев. Часто для учета приоритета вводится вектор распределения важности или значимости критериев .

В задаче многокритериального выбора решение почти всегда ищется в области компромиссов или в области решений, оптимальных по Парето, Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач, которые можно разбить на четыре группы:

1. Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).

2. Минимизация максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.

3. Оптимизация одного критерия (почему-либо признанного наиболее важным), а остальные критерии выступают в роли дополнительных ограничений.

4. Упорядочение (ранжирование) множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.

В рассматриваемой постановке множество допустимых планов есть совокупность альтернатив , а значения критериев равны:

f _j(A_i)= e _ij.

Покажем применение некоторых методов многокритериальной оптимизации к решению задач планирования в системе управления фирмой.

Метод равномерной оптимизации:

(1)

Он применяется, если глобальное качество альтернативы представляет собой сумму локальных (частных) качеств и, кроме того, все критерии имеют одну и ту же единицу измерения, например денежное выражение либо безразмерные величины. Главный недостаток метода -это возможность компенсации малых значений некоторых критериев достаточно большими значениями других.

Метод справедливого компромисса:

(2)

Он применяется, во-первых, потому что существуют разнообразные схемы, приводящие к такому методу, во-вторых, потому что имеется тесная связь с решением в некооперативных играх.

Метод свертывания критериев:

(3)

Здесь каждому из критериев приписываются весовые коэффициенты а, определяющие предпочтения ЛПР.

Метод главного критерия:

(4)

Здесь f ₁(х) - главный (наиболее важный из всех для ЛПР) критерий, d _j- нижняя граница j-го критерия, устанавливаемая ЛПР.

Метод идеальной точки. Ищется план, удовлетворяющий условию равномерного сжатия:

(5)

Метод последовательных уступок (или пороговых значений):

 

где h _j - уступка по критерию f _j(x), т. е. величина, на которую ЛПР согласен уменьшить значение данного критерия по сравнению с его максимальным значением.

Метод группировки критериев. Суть метода заключается в том, что множество критериев, значения которых предварительно вычислены на некотором оптимальном по Парето плане x °, разбивается на три группы. Первая группа включает критерии, значения которых могут быть уменьшены по сравнению со значениями, вычисленными на плане x ° Вторая группа состоит из критериев, значения которых желательно увеличить. Третья группа включает критерии, значения которых не хотелось бы уменьшать по сравнению с достигнутыми на плане x °. Далее отыскивается план уже в новой системе ограничений, который позволяет максимально увеличить значение критерия второй группы.

Так как критерии могут иметь различные масштабы и шкалы измерения, то прежде, чем приступить к решению многокритериальной задачи, их необходимо привести к одной единице измерения (обычно к безразмерному виду). Этот процесс называется нормализацией. Существуют различные методы нормализации, Предлагается следующий способ получения безразмерной формы критериев:

 

(6)

 

где

 

Рассмотрим следующую многокритериальную задачу планирования. Пусть фирма имеет возможность реализовывать свои товары на 4-х различных рынках (альтернативы А₁, А₂, А₃, А₄). При этом ставятся одновременно следующие цели: минимизация затрат на рекламу, завоевание максимальной доли рынка и максимальный объем продаж в течение планируемого периода. Исходные данные приведены в табл. 3.

Таблица 3

Исходные данные многокритериальной задачи (пример)

Альтернативы, рынки	Цели (критерии)
затраты на рекламу, тыс.ден.ед., f 1	доля рынка, %, f 2	объем продаж, тыс.шт., f 3
А1
А2
А3
А4

 

Значения критериев даны в различных единицах измерения, поэтому согласно формуле (6) приведем их к безразмерному виду:

 

 

Так как критерий f ₁, минимизируется, то для того, чтобы все критерии стремились к максимуму, умножим безразмерные величины критерия f ₁, на (-1) и сформируем табл. 4. Решим задачу несколькими методами.

Таблица 4

Преобразованные исходные данные (пример)

Альтернативы	Цели (критерии)
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5	0,5
А2			0,5
А3	-1
А4	-0,25	0,5	0,3

Метод равномерной оптимальности. В соответствии с (1) имеем:

Альтернативы	Цели (критерии)	Критерий
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5	0,5		-0,5+0,5+1=1
А2			0,5	0,5
А3	-1
А4	-0,25	0,5	0,3	-0,25+0,5+0,3=0,55

Следовательно, согласно принципу равномерной оптимальности предприятию выгоднее работать на рынке А₁

Метод справедливого компромисса. Чтобы воспользоваться данным методом, избавимся от отрицательности критерия f ₁, добавив константу, например 1. Тогда значения первого критерия будут равны:

На основании (2) имеем:

mах{0,5 х 0,5 х1; 1 х 0 х 0.5; 0; 0,75 x 0,5 х 0,3}=mах{0,25; 0; 0; 0,1125}= 0,25.

Альтернативы	Цели (критерии)	Критерий
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5+1=0,5	0,5		0,5*0,5*1=0,25
А2	0+1=1		0,5	1*0*0,5=0
А3	-1+1=0
А4	-0,25+1=0,75	0,5	0,3	0,75*0,5*0,3=0,1125

Результат получился аналогичный предыдущему, а именно выгоднее работать на рынке А₁.

Метод свертывания критериев. Сначала положим следующие значения весовых коэффициентов: .Тогда функции свертки в соответствии с (6.3) будут равны:

f ₁= -0,5х0,2+0,5х0,3+1 х 0,5= 0,55;

f ₂= 0х0,2+0х0,3+0,5х0,5=0,25;

f ₃= -1х0,2+1х0,3+0х0,5=-0,2 + 0,3+0=0,1;

f ₄= -0,25х0,2+ 0,5х0,3 + 0,3х0,5= 0,25;

mах{ 0,55; 0,25; 0,1; 0,25} = 0,55.

Альтернативы	Цели (критерии)	Критерий
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5	0,5		-0,5*0,2+0,5*0,3+1*0,5= 0,55
А2			0,5	0*0,2+0*0,3+0,5*0,5=0,25
А3	-1			-1*0,2+1*0,3+0*0,5=0,1
А4	-0,25	0,5	0,3	-0,25*0,2+0,5*0,3+ 0,3*0,5= 0,25

При таком значении коэффициентов значимости критериев выгоднее работать на рынке A₁

Если доложить , то получим:

f ₁= -0,5х0,1+0,5х0,7+1х0,2= 0,5;

f ₂= 0х0,1+0х0,7+0,5х0,2=0,1;

f ₃= -1х0,1+1х0,7+0х0,2=0,6;

f ₄= -0,25х0,1+ 0,5х0,7 + 0,3х0,2= 0,385;

mах{ 0,5; 0,1; 0,6; 0,385} = 0,6.

Альтернативы	Цели (критерии)	Критерий
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5	0,5		-0,5*0,1+0,5*0,7+1*0,2= 0,5
А2			0,5	0*0,1+0*0,7+0,5*0,2=0,1
А3	-1			-1*0,1+1*0,7+0*0,2=0,6
А4	-0,25	0,5	0,3	-0,25*0,1+0,5*0,7+ 0,3*0,2= 0,385

Таким образом, если приоритет отдается доле рынка (), то фирме имеет смысл работать на рынке А₃.

Если же фирма находится в затруднительном положении с точки зрения средств, выделяемых на рекламу, другими словами, для нее в данный момент самым важным является минимизация затрат на рекламу, то коэффициенты значимости могут быть, например, выбраны такие: ; mах {-0,25;0,05;-0,7;-0,12}=0,05.

Следовательно, в такой ситуации лучше всего работать на рынке А₂.

Если задать весовые коэффициенты , то

f ₁=-0,35; f ₂=0,15; f ₃=0,1; f ₄=0,215;

mах {0,35; 0,15; 0,1; 0,215) =0,35.

При таких значениях весовых коэффициентов выгоднее работать на рынке А₁

Приведем два последних варианта решений в следующей таблице:

Альтернативы	Цели (критерии)	Критерий
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5	0,5		-0,25	0,35
А2			0,5	0,05	0,15
А3	-1			-0,7	0,1
А4	-0,25	0,5	0,3	-0,12	0,215

Метод главного критерия. Пусть главный критерий f ₁ - затраты на рекламу, а остальные критерии выступают в роли ограничений, причем доля рынка должна быть не меньше 45%, а объем продаж не меньше 85 тыс.ден.ед. Тогда в соответствии с (6.4) минимальное значение главного критерия f ₁ равно 5 тыс.ден.ед. и соответствует альтернативе А₂ однако с учетом ограничения на долю рынка следует выбрать альтернативу A₄, но так как еще требуется, чтобы объем продаж был не меньше 85 тыс.ден.ед., то наилучшей альтернативой в этом случае будет рынок A₁.

f₁-главный критерий, ,

Альтернативы, рынки	Цели (критерии)
затраты на рекламу, тыс.ден.ед., f 1	доля рынка, %, f 2	объем продаж, тыс.ден.ед., f 3
А1
А2	5=min
А3
А4

Метод идеальной точки (критерий равномерного сжатия (6.5) соответствует принципу Сэвиджа). Определим сначала максимальные значения критериев. А именно Матрица отклонений значений критериев от наилучших значений имеет вид:

max

Максимальные отклонения по каждой из 4-х альтернатив имеют следующие значения: 0,5; 1; 1; 0,7. Выберем минимальное из этих отклонений:

min {0,5; 1;1; 0,7}=0,5.

	Цели (критерии)	Отклонения от max	Max отклонения
f 1	f 2	f 3
А1	-0,5	0,5	1=	0-(-0,5)=0,5	1-0,5=0,5	1-1=0	0,5=min
А2	0=		0,5		1-0=1	1-0,5=0,5
А3	-1	1=		0-(-1)=1	1-1=0	1-0=1
А4	-0,25	0,5	0,3	0-(-0,25)=0,25	1-0,5=0,5	1-0,3=0,7	0,7

Минимальное значение 0,5 соответствует альтернативе A₁ следовательно, используя данный метод, получим решение, которое рекомендует фирме планировать работу на рынке A₁.