Задача 6.3

Проверяем необходимое и достаточное условие полного дифференциала функции двух переменных:

В данной задаче:

условие полного дифференциала выполнено, следовательно, восстановить функцию можно.

Для нахождения функции используем криволинейный интеграл II рода, вычислив его от полного дифференциала по линии , соединяющей фиксированную точку и переменную точку в области существования криволинейного интеграла:

 

 

 

Так как криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы линии интегрирования, то будем его вычислять по ломаной , состоящей из отрезков, параллельных осям координат.

 

Запишем уравнения каждого звена ломаной и, используя свойство аддитивности криволинейного интеграла, будем сводить его вычисление к вычислению определенных интегралов:

 

уравнение :

уравнение :

 

 

 

 

 

 

.

 

Таким образом, искомая функция получилась в виде:

.

 

Проверка:

 

вычисленный полный дифференциал dU совпадает с данным в условии задачи, следовательно, функция восстановлена верно.

 

В записи ответа учтем, что функция нескольких переменных восстанавливается по её полному дифференциалу с точностью до постоянного слагаемого.