Задача 8.2

Потоком векторного поля через двухстороннюю поверхность в направлении ее нормали называется поверхностный интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора на единичный вектор нормали к поверхности, т.е.

 

 

, где .

 

В рассматриваемой задаче

,

поверхность является замкнутой

поверхностью пирамиды , направление нормали - внешнее.

Поэтому непосредственно по определению потока в данной задаче имеем:

 

 

 

 

Вычисление интеграла по поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции этой поверхности на одну из координатных плоскостей.

Так как в данной задаче замкнутая поверхность образована кусками различных плоскостей, то нужно использовать свойства аддитивности поверхностного интеграла и проводить его вычисления как сумму четырех слагаемых:

,

где - это поток через нижнее основание ,

-это поток через боковую грань ,

-это поток через боковую грань ,

-это поток через боковую грань .

Вычисляем каждое слагаемое , , , отдельно, для чего записываем проекции внешней нормали к каждой из граней пирамиды и сводим интеграл по поверхности к двойному интегралу.

	Для ; уравнение поверхности (OAB): ;     .
	Для ; уравнение поверхности (OAС): ; область OAС: .
	Для ; уравнение поверхности (BOC): ; область BOС:   .

 

 

Для

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Складываем все слагаемые потока:

-это значение потока через замкнутую поверхность пирамиды ABCO, вычисленное непосредственно.

 

По формуле Остроградского-Гаусса:

 

, где , (V) – это объем, ограниченный замкнутой поверхностью , направление нормали к

которой берется внешнее.

поэтому

 

 

В данной задаче:

.

 

Очевидно, что значение потока, вычисленное непосредственно, и значение потока того же векторного поля, вычисленное по формуле Остроградского-Гаусса, должны совпадать.

 

Так как получился поток , то это означает, что в замкнутой поверхности пирамиды преобладают источники данного векторного поля над его стоками.

 

Ответ к задаче 8.2: (единиц потока).