Студопедия — The Angle between Planes
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

The Angle between Planes






Consider the planes given by the equations

; ,

which have normal vectors and . Using inner product, we find the cosine of the angle:

.

The condition for two planes to be parallel coincides with the condition for the normal vectors and to be collinear:

.

The perpendicularity conditioin coincides with the perpendicularity condition for the vectors and :

( · )=0, i.e., A1A2+B1B2+C1C2= 0.

Example 1. Show that the following planes are parallel or perpendicular:

.

The planes are perpendicular, because

.

Example 2. Write an equation of the plane passing through the point М 0(–1;2; 4) and parallel to the plane 6 x- 7 y+ 5 z+ 11 = 0.

The normal vector is normal to the required plane also. We have

A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)= 0,

6 (x+ 1 )– 7 (y– 2 )+ 5 (z– 4 )= 0; 6 x– 7 y+ 5 z= 0.

The normal equation of a plane. Consider a plane. Let us draw the perpendicular ОР from the origin to this plane. Let a,b, and g be the angels between this perpendicular and the coordinate axes x,y, and z, and let . It is required to write an equation of this plane.

z

P

M(x,y,z)

0 y

x

 

 

Take an arbitrary point M(x; y; z) in the planeand consider the radius-vector . The unit vector on the perpendicular ОР has the coordinates

= { cos α; cos b; cos g}.

For any point М in the plane, the projection of the vector on the unit vector equals р:

.

Consider the scalar product

,

or, in coordinate form, .

Thus, we have obtained the normal equation of the plane:

 

. (25)

 

The normalizing factor. Consider the plane given by the general equation Ax+By+Cz+D= 0.

It is required to reduce this equation to the normal form (25).

Definition. Number m is called the normalizing factor if the equation multiplied by it is normal.

To find the normalizing factor, we multiply the general equation of the plane by a number m term by term:

mAx+mBy+mCz+mD= 0.

This equation is normal if the two normality conditions hold, i.e.,

1. (mA)2+(mB)2+(mC)2= 1,

2. mD< 0.

From the first condition, taking out m2 and extracting the square root, we find the normalizing factor.

.

The sign opposite to that of the free term D must be taken.

 







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 602. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия