Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

The Vector, Parametric, Canonical, and General Equations of a Straight Line





 

The position of a straight line in space is determined by a point on this line and a vector parallel to the line. Let us write an

equation of such a line in space.

z

0 y

x

To this end, we take an arbitrary point on the line, join М0 and М to the origin, and find the coordinates of the radius-vectors

,

.

It is seen from the figure, that .

If the point М belongs to the straight line, then the vectors and are collinear.

Consequently, these vectors meet the collinearity condition

,

where t is a parameter.

Let us write the collinearity condition in the form

; (*)

equation (*) is the vector equation of the given line.

Suppose given the coordinates of the point M0(x0,y0,z0) and the direction vector . Let us write the left-hand side of equation (*) in the vector form

the direction vector is

.

Let us represent equation (*) in the form

.

Equating the respective coefficients of the unit vectors on the right- and left- sides, we obtain parametric equations of the straight line:

or (27)

Eliminating the parameter t, we obtain the canonical equations of a straight line:

. (28)

Example. Write the canonical equations of the straight line passing through the point parallel to the vector . We compose the canonical equation by formula (28):

.

Equating each fraction to a parameter t, we obtain the parametric equations of the line:

 

The general equation of a straight line in space. Since a straight line in space is represented as the intersection of two planes, the general equation of a straight line in space has the form of a system

where the first and the second equations are the equations of the corresponding planes.

It is always possible to transform the general equation of a straight line into a canonical equation and vice versa.

Since the direction of is perpendicular to those of the vectors and , it follows that

,

i.e., the canonical equation is

.

The angle between straight lines in space. The parallelism and perpendicularity conditions for straight lines. Let us find the angle between intersecting right lines given by their canonical equations

; .

The angle between these two lines is equal to the angle between their direction vectors

; ,

i.e.,

.

The parallelism and perpendicularity conditions for right lines coincide with the collinearity and perpendicularity conditions of their direction vectors and .

If straight lines are perpendicular, then , i.e., , and the perpendicularity condition is

.

If straight lines are parallel, then the vector is collinear to , i.e., their coordinates are proportional, and the proportionality condition is

.

 

The equation of the straight line passing through two given points. Suppose given two points and in space.

z

M2

M1

 

 

0 y

 

x

 







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 4844. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия