Занятие №5. В этой подборке задачи получились несколько сложнее, чем в предыдущих

Разные задачи

В этой подборке задачи получились несколько сложнее, чем в предыдущих. Не расстраивайтесь, если получится меньше, чем обычно. И не откладывайте по возможности на последний вечер, так как решить быстро может и не получиться. Успешнее будет решать в несколько заходов.

1. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны и любые две рядом стоящие цифры отличаются больше чем на 1.

2. Даны 11 различных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.

3. "У Вовы больше тысячи книг", - сказал Ваня. "Нет, книг у него меньше тысячи", - возразила Аня. "Одна-то книга у него наверняка есть", - сказала Маня. Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы? (Определить все варианты и доказать, что нет других!)

4. Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате число мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек ее не решивших. Кого в классе больше учеников решивших задачу или девочек?

5. В племени Мумбо Юмбо 100 человек. У 75 из них в левом ухе серьга, у 75 - в правом ухе серьга, причем у 55 аборигенов серьги в обоих ушах. Кроме того, в племени есть маленькие аборигены, которые серег еще не носят. Сколько в племени маленьких аборигенов?