Познакомимся?

(проверка способностей и умений)

1. У Вани есть карточки с цифрами 9, 1, 0, 5, 4. Помогите Ване составить из них самое большое и самое маленькое число.

Самое большое – 95410. На первое место ставим самую большую цифру – 9. На второе место 9 мы поставить не можем, так как эта карточка уже занята. Ставим наибольшее из оставшихся – 5. Далее – в порядке убывания.

Самое маленькое число – 10459. На первое место ставим самую маленькую цифру. 0 мы на первое место поставить не можем, так как число не может начинаться с нуля, значит 1. На второе место выбираем наименьшее из оставшихся, то есть 0. Далее по возрастающей.

2. Кристоферу Робину в школе задали придумать двухзначное число, которое ровно в пять раз больше суммы своих цифр. Помогите ему?

Такое число ровно одно – 45. Для полного решения достаточно просто написать это число.

Теперь о том, как можно было сократить поиск подходящего числа. Если число в 5 раз больше суммы своих цифр, значит оно делится нацело на 5, так как сумма цифр – целое число. А на 5 делятся числа, на конце которых стоит 0 или 5 (если Вы не знаете этого свойства, полезно убедиться в этом на примерах). Далее перебором.

3. Около каждой вершины треугольника написано число. На каждой стороне треугольника записали сумму чисел, стоящих на ее концах. Затем каждое число, стоящее у вершины, сложили с числом, записанным на противоположной стороне. Может ли среди трех получившихся сумм быть различные?

Число, написанное на противоположной стороне, есть сумма чисел, стоящих в противоположных вершинах. Таким образом, все три получившиеся суммы – это сумма чисел, стоящих во всех трех вершинах, а значит все три суммы всегда равны.

Заметим, что примеры с конкретными числами не являются решением, так как это не доказывает, что не существует чисел, с которыми все получится.

4. В банке, которой Вовочка пугает одноклассников, сидят пауки и тараканы. Отличник Петя посчитал, что в банке виднеется 8 голов. А отличница Катя посмотрела на донышко и посчитала, что у насекомых всего 54 ноги. Сколько же в банке тараканов, а сколько пауков? (У таракана – 6 ног, а у паука – 8.)

У этой задачи много решений. Мы разберем наиболее «красивое».

Пусть все насекомые, сидящие в банке, - тараканы. Тогда у 8 тараканов 6х8=48 ног. А по условию ног – 54, значит 6 ног – «лишние». У паука на 2 ноги больше, чем у таракана, значит замена таракана на паука добавляет 2 «лишние» ноги. Поскольку «лишних» ног 6, значит в банке 3 паука, а все оставшиеся – тараканы. То есть 3 паука и 5 тараканов.

5. Расставьте в квадрате 3х3 чиcла 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы суммы чисел в каждом столбце, стоке и обеих диагоналях были бы равны.

Да, можно. Для полного решения достаточно привести пример, как именно это можно сделать.

4 9 2 3 5 7 8 1 6

 

Как до этого догадаться?

Найдем, чему будут равны суммы каждого столбца, строки и диагонали в магическом квадрате 3х3: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45: 3 = 15.

Получается, что суммы трех числе по 8 направлениям (по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям) равны 15. Это число еще называют магической постоянной.

Найдем число, стоящее в центре магического квадрата. Это число будет принадлежать 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, т.е. оно входит в 4 из 8-ми троек, дающих в сумме магическую постоянную 15. Это число 5.

Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки (строка и столбец) чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой–то клетке, примыкающей к середине квадрата (цифре 5): над или под цифрой 5, слева или справа от цифры 5.

Квадрат – фигура симметричная, и нам неважно, какую из сторон мы выберем. Поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом - не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически.