Занятие №2. Задачи с вопросом: «Можно ли ?»

Задачи с вопросом: «Можно ли…?»

(основа построения доказательства)

 

 

1. Можно ли из фигур, изображенных на рисунке, сложить квадрат размером 9*9 клеток с вырезанным в его центре квадратом 3*3 клетки?

Да, можно. Например, так.

2. Можно ли прямоугольник 5 х 3 без 4 угловых клеток разрезать на несколько равных частей, но не на отдельные клетки? Резать разрешается только по линиям сетки.

Посчитаем площадь прямоугольника (количество клеток, из которых он состоит): 5 х 3 – 4 = 11. Поскольку разрешается резать фигуру только по линиям сетки, полученные фигурки могут состоять только из целого числа клеток. Значит общая площадь, то есть 11, должна делиться нацело на число клеток в фигуре. А число 11 имеет ровно 2 делителя: 11 (что соответствует разрезанию на отдельные клеточки) и 1 (что соответствует отсутствию разрезов вовсе). Итак, нельзя порезать фигуру на равные части, не являющиеся одиночными клеточками.

3. Может ли существовать класс, в котором девочек на 5 больше, чем мальчиков, а всего 30 учеников?

Девочек на 5 больше, чем мальчиков. Значит в классе, где девочек было бы столько же сколько мальчиков, было бы 25 человек (вычли из общего количества «лишних» девочек). Чтобы найти количество мальчиков надо 25 разделить на 2, так как их теперь ровно половина. Получится нецелое число, а такого быть не может. Значит такого класса не существует.

4. В некоторой стране 15 городов и каждый город соединен двухсторонней авиалинией ровно с 3 другими. Может ли так быть?

Посчитаем количество авиалиний в стране. Из каждого из 15 городов выходит 3 авиалинии, значит всего 15 х 3 = 45 аэропортов-выходов. А каждая авиалиния соединяет ровно 2 аэропорта. Значит авиалиний 45: 2, то есть нецелое число. Значит так быть не может.

5. У Пети есть 8 палочек длины 3 и 6 палочек длины 2. Удастся ли ему из всех палочек сложить квадрат?

Да, можно. Как показано на рисунке.

Как можно до этого догадаться? Посчитаем какой должна быть длина стороны, для чего посчитаем суммарную длину палок и поделим на количество сторон квадрата. 8 х 3 + 6 х 2 = 36. 36: 4 = 9. Далее творчество.