Занятие №6

Сколько способов…

1. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

В первом броске может выпасть либо орел, либо решка. Пусть выпал орел. Тогда во втором броске либо орел, либо решка – 2 варианта. Пусть выпала решка – еще 2 варианта. Таким образом, у нас 4 варианта исходов при 2 бросках. Для каждого из этих исходов есть 2 варианта 3 броска – орел или решка. Значит число исходов удваивается, то есть их 8.

Итак, мы построили дерево вариантов.

о р ооо ррр

/ \ / \ оор рро

о р о р оро рор

/ \ / \ / \ / \ орр роо

о р о р о р о р

Из него понятно, что мы все перебрали и вариантов действительно 8.

2. Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Снова строим дерево вариантов. Верхнюю левую клетку можно покрасить или не покрасить – 2 варианта. Верхнюю правую (при известной верхней левой) тоже можно покрасить или нет. То есть каждая ветка, а у нас их 2, разделяется еше на 2. Четыре варианта покрасить 2 верхние клетки. Для каждого из них по 2 варианта покрасить левую нижнюю – получаем 8 вариантов. И для каждого из 8 еще по 2 способа покрасить последнюю клетку. Итого, 16 способов.

3. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.

Однобуквенных слов – 3 (А, Б, В). Двухбуквенных слов – 9. (Опять строим дерево. 3 буквы на первом месте и по три буквы на втором: 3х3=9). Тогда трехбуквенных слов – 27, так как для каждого 2хбуквенного есть 3 варианта последней буквы. И 27х3=81 четырехбуквенное слово.

Таким образом, всего 3+9+27+81=120 слов

4. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Опять строим дерево. На первое место можно положить 4 разных шарика. На второе место можно положить один из трех оставшихся. На второе – один из двух. А на последнее один оставшийся шарик. Итого, 4х3х2х1=24 варианта.

кр чер син зел

/ | \ / | \ / | \ / | \

чер син зел кр син зел кр чер зел кр чер син

/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \

с з ч з ч с с з к з к с ч з к з ч к ч с к с ч к

Последний шар не добавляет ветвей, поэтому его не рисую, чтоб не загромождать картинку. Видно, что мы ничего не упустили и что вариантов 24.

5. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Присвоим курьерам имена: 1, 2, 3. Иными словами, надо на каждом письме написать 1, 2 или 3. Вопрос: сколько способов это сделать. Строим дерево.

3 варианта для первого письма. 3 варианта для второго. … Значит при добавлении каждого нового письма количество вариантов утраивается. Поскольку писем 6, то вариантов 3х3х3х3х3х3=729.

Комментарий: Прежде чем начать считать количество способов умножением, полезно все-таки научиться строить дерево вариантов. Причем строить их надо достаточно долго. Опыт показывает, что, поняв фокус про то, что можно умножать, ученики часто не в состоянии объяснить почему, собственно говоря, так можно прийти к правильному ответу.