Разные задачи
1. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны и любые две рядом стоящие цифры отличаются больше чем на 1. Ответ: 9758642031 Во-первых, все цифры присутствуют, значит числа с большим количеством цифр нет. На первом месте самая большая цифра - 9. На втором месте не может стоять 9 и 8, а 7 может. Далее на третьем месте не может стоять 9, 8, 7, 6. Значит ставим 5. На четвертом может стоять 8. Ставим, так как больше только 9, а она уже есть. На пятом месте не 9,7,5,8, значит 6. Далее не 9,7,5,8,6, значит 4. Далее не может стоять 3, а 2 может. Осталось 3,1,0. После 2 ставим 0, так как только он отличается больше чем на 1. Теперь мы можем поставить 3. Затем 1. Итак, число наибольшее по построению. Так как на каждой позиции стоит максимальная из возможных по условию задачи цифр. 2. Даны 11 различных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10. Как мы уже вспомнили в предыдущей задаче, у нас имеется 10 цифр. Значит какими бы ни были 11 различных чисел, по крайней мере два их них оканчиваются на одну и ту же цифру. Их разность оканчивается на ноль. А числа оканчивающиеся на ноль делятся на 10. 3. "У Вовы больше тысячи книг", - сказал Ваня. "Нет, книг у него меньше тысячи", - возразила Аня. "Одна-то книга у него наверняка есть", - сказала Маня. Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы? (Определить все варианты и доказать, что нет других!) Истинно только одно из утверждений. Пусть это утверждение Вани, тогда Аня и Маня должны сказать неправду. Но если книг больше 1000, значит одна книга есть и Маня права. Противоречие. Пусть это утверждение Мани, тогда врут Ваня и Маня. Значит, раз Маня врет, у Вовы нет даже одной книги. То есть у него ноль книг. Этот вариант годится, так как и Ваня тогда тоже врет. Пусть верное утверждение Мани, тогда врут Ваня и Аня. Книг не больше и не меньше 1000, значит их может быть 1000. Этот вариант тоже подходит. Таким образом, у задачи два ответа: 0 или 1000. 4. Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате число мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным числу девочек ее не решивших. Кого в классе больше учеников решивших задачу или девочек? Девочки бывают решившие задачу и не решившие задачу. Число девочек, не решивших задачу, равно числу мальчиков ее решивших. Значит число мальчиков решивших задачу и девочек решивших задачу равно числу девочек. 5. В племени Мумбо Юмбо 100 человек. У 75 из них в левом ухе серьга, у 75 - в правом ухе серьга, причем у 55 аборигенов серьги в обоих ушах. Кроме того, в племени есть маленькие аборигены, которые серег еще не носят. Сколько в племени маленьких аборигенов? У 55 аборигенов серьги в обоих ушах. Посчитаем число аборигенов, у которых серьга только в одном ухе. У 75 человек серьга в левом ухе, из них у 55 – еще и в правом, то есть тех, у кого серьга только в левом ухе 75-55=20 человек. Так же выясняем, что тех, у кого серьга только в правом ухе, тоже 20 человек. Таким образом, людей с серьгами 55(в обоих ушах)+20(только в левом)+20(только в правом) = 95 человек. А всего 100. Значит маленьких аборигенов 5 человек.
|
