Разные задачи. 1. Из числа 513879406 вычеркните 4 цифры так, чтобы полученное число было наибольшим

1. Из числа 513879406 вычеркните 4 цифры так, чтобы полученное число было наибольшим. Не забудьте объяснить, почему полученное Вами число наибольшее.

Количество цифр в числе фиксировано – их будет 5, так как из 9 вычеркнем 4. Значит менять можно только значение. Из двух чисел больше то, у которого в старшем разряде стоит большее число. Значит число, у которого в старшем разряде стоит 9, больше всех чисел, у которых 9 не первая. Можем ли мы получить 9 на первое место? Нет, так как для этого нужно будет вычеркнуть пять цифр, а мы можем только четыре. Но можно получить 8 на первое место, вычеркнув 513. Остается вычеркнуть еще одну. Это будет 7, так как тогда 9 окажется на втором месте, а это самая большая цифра.

Ответ: 89406.

2. С одной стороны дороги росли в ряд несколько деревьев. Однажды весной между каждыми двумя соседними деревьями посадили еще по одному дереву. Следующей весной это проделали снова, а еще через год — в третий раз. Ни одно дерево за это время не погибло. Могло ли в итоге общее число деревьев стать равным 99?

Нет, не могло. Решим задачу с конца. Если в конце стало 99, то мы можем вычеркнуть каждое второе дерево и останутся те из них, которые росли до последней посадки. Их 50 (а посадили 49). Но 50 – четное число. А должно быть нечетное. Так как еще за год до этого между несколькими деревьями посадили деревья по числу промежутков, а оно на 1 меньше исходного числа деревьев. А сумма двух последовательных чисел не может быть четной. Значит такого быть не могло.

3. У каждого марсианина 3 руки. Могут ли 7 марсиан взяться за руки так, чтобы свободных рук не осталось? (В каждом рукопожатии участвует ровно 2 руки.)

Нет, не могут. Так как всего рук у марсиан 3х7=21. А в рукопожатии участвуют две руки. А 21 не делится нацело на 2, значит они не смогут взяться так, чтобы рук не осталось.

4. В наборе елочных игрушек 5 синих, 6 красных и 4 зеленых шара. Какое минимальное количество шаров надо вслепую достать из коробки и повесить на елку, чтобы на елке оказалось хотя бы по одному шару каждого цвета?

Ответ: надо достать 12 шариков.

Если мы достанем 11, то это могут оказаться 5 синих и 6 красных, а зеленых там не будет. Если же мы достанем 12, то зеленый там непременно окажется, так как кроме зеленых только 11 шаров. Синий там тоже окажется, потому что кроме синих только 10 шаров. И красный окажется, так как только 9 не красных шаров.

5. Древний ученый Пифагор вырезал из картона несколько треугольников и написал на углах каждого цифры 1, 2 и 3. Затем он сложил треугольники в стопку и посчитал суммы цифр на каждом углу. Могли ли все суммы получиться равными 13?

Нет, не могли. Сумма чисел на каждом треугольнике равна 1+2+3=6. Значит, если сложить числа на всех треугольниках, полученная сумма должна делиться на 6. Предположим, что удалось сложить треугольники так, что на каждом углу сумма равна 13. Значит на всех углах эта сумма равна 39. А 39 не делится на 6. Противоречие.