АЛГОРИТМ ЗАДАНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим простую схему конструирования квадратичной параболы, которую далее обобщим для кривых Безье произвольного порядка. Пусть - три произвольные точки в пространстве , и пусть . Запишем следующие выражения:

.

Подставляя первые два уравнения в третье, получим уравнение второго порядка относительно переменной :

(7)

Таким образом, при изменении переменной от до уравнение (7) описывает параболу, которую мы будем обозначать . Приведенные выше выражения представляют собой повторяющуюся линейную интерполяцию, иллюстрация которой приведена на рис. 4. При значениях переменной в интервале от 0 до 1 парабола лежит внутри треугольника, образованного точками .
В частности, отметим, что

.

Анализируя расположение точек на рис. 13.4, можно отметить равенство отношений

.

Рис. 13.4. Конструирование параболы с использованием линейной интерполяции

Так как кусочная линейная интерполяция аффинно инвариантна, то сконструированная парабола обладает таким же свойством. Можно также отметить, что данная кривая является плоским коническим сечением, поскольку любая точка на ней однозначно определяется заданием трех барицентрических координат.

Прежде чем рассмотреть алгоритм Кастельжо для произвольной кривой, приведем теорему о трех касательных, полностью связанную с вышеприведенным конструированием параболы. Пусть - три действительные различные точки на параболе (рис. 13.5).

Рис. 13.5. Иллюстрация теоремы о трех касательных

Проведем касательные к параболе в этих точках. Обозначим точки пересечения касательных .

Тогда справедливо равенство отношений .

Эта теорема определяет свойства квадратичной параболы. Теперь, учитывая конструктивные аналогии, рассмотрим алгоритм линейной интерполяции для произвольной кривой.