СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА

Треугольную порцию поверхности можно определить, используя обобщенные полиномы Бернштейна:

,

(11)

где - барицентрические координаты,

, , .

Сумма полиномов, определенных на заданном интервале, равна единице

 

Свойства обобщенных полиномов Бернштейна сходны со свойствами одномерных полиномов:

1. Сумма полиномов, определенных на заданном интервале, равна единице
.
Это свойство обеспечивает инвариантность полиномов при аффинных преобразованиях. Следовательно, аффинно инвариантны и треугольные порции поверхностей Безье, определяемые этим набором полиномов. Заметим, что выше мы доказали это свойство, используя геометрическую интерпретацию.

2. Все полиномы положительны на заданном интервале

.

3. Возможно рекурсивное вычисление полиномов степени , если известны полиномы степени :

, .

Пример
Запишем формулы обобщенных полиномов Бернштейна для случая и представим результаты в виде схемы (Рис. 10).
На рис. 11 и рис. 12 показан вид некоторых базисных полиномов треугольной кубической порции поверхности.

Рис. 13.10. Формулы обобщенных кубических полиномов Бернштейна

Рис. 13.11. Семейство кубических обобщенных полиномов Бернштейна

 

 

Рис. 13.12. Примеры обобщенных кубических полиномов Бернштейна

Мы рассмотрели алгоритм определения точки, инцидентной треугольной порции поверхности, с заданными барицентрическими координатами на основе повторяющейся линейной интерполяции. Решим эту задачу, используя обобщенные полиномы Бернштейна и их свойства.

Запишем уравнение (10) в виде

.

Таким образом, каждый шаг алгоритма связан с линейной интерполяцией, определяемой формулой

.

(12)

Подставляя в уравнение (12) , получим уравнение треугольной порции поверхности Безье, определенной с помощью обобщенных полиномов Бернштейна:

(13)

или

.

Угловые точки порции поверхности задаются векторами , и .

Граничные кривые определяются характеристическими ломаными:

;

;

.

Так же, как и для одномерного случая, перемещение любой из управляющих точек влияет на форму поверхности в окрестности этой точки. Пример сконструированной кубической треугольной порции поверхности показан на рис. 13.13.

Рис. 13.13. Кубическая треугольная порция поверхности Безье и ее характеристический многогранник