АНАЛИЗ АЛГОРИТМА КАСТЕЛЬЖО ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ

Приведенные выражения для квадратичной параболы легко обобщаются на случай произвольной пространственной кривой -го порядка.

Пусть - произвольные точки в пространстве , . Тогда для параболы -го порядка запишем

(8)

Отметим, что . Значение определяет точку со значением параметра на кривой Безье .

Ломаная , образованная отрезками прямых, соединяющих точки , называется ломаной Безье, или управляющей ломаной кривой . Соответственно, вершины ломаной называются управляющими точками, или точками Безье.
На рис. 6 показано определение точки на кубической кривой Безье с помощью алгоритма Кастельжо.

Рис. 13.6. Построение точки на кубической кривой с использованием повторяющейся линейной интерполяции

Промежуточные точки удобно записывать, используя схему Кастельжо, т.е. в виде треугольного массива.
Например, для кубической кривой схема Кастельжо выглядит следующим образом:

Произвольную точку кривой также можно вычислить с помощью полиномов Бернштейна:

(9)

Важно, что в случае это уравнение дает точку на кривой:

.

13.2.3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПОРЦИИ ПОВЕРХНОСТИ

Для определения точки, инцидентной треугольной порции поверхности, с заданными барицентрическими координатами используем обобщение линейной интерполяции для произвольной кривой -го порядка.

Дано: характеристический многогранник треугольной порции поверхности и точка в пространстве , заданная барицентрическими координатами .

Найти: точку, инцидентную заданной порции поверхности, с соответствующими барицентрическими координатами.