Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ





Пусть в пространстве заданы две различные точки и . Все точки , принадлежащие пространству , определяемые с помощью уравнения

, (1)

лежат на прямой . См. Рис. 13.1.

Рис. 13.1. Линейная интерполяция двух точек

Для интервала изменения параметра точка лежит между точками и , и делит отрезок в отношении . Уравнение (1) представляет собой барицентрическую комбинацию двух точек в пространстве . Барицентрическая комбинация существует и для трех точек в пространстве :

.

Очевидно, что точка связана с точками 0 и 1 такой же барицентрической комбинацией, которая связывает точку с точками и . Следовательно, линейная интерполяция является аффинным отображением действительной оси на прямую линию в пространстве . С линейной интерполяцией тесно связан метод барицентрических координат, предложенный Мебиусом.
Для трех коллинеарных точек , расположенных в пространстве , можно записать связывающее уравнение

,

где - барицентрические координаты точек и .

Отметим, что из уравнения (1) мы назвали барицентрической комбинацией. Поэтому связь метода барицентрических координат и линейной интерполяции очевидна:

Барицентрические координаты могут принимать отрицательные значения, это происходит, если .

Для произвольных коллинеарных точек , , можно записать выражения для барицентрических
координат точки относительно и :

.

Барицентрические координаты могут быть определены не только на прямой линии, но и на плоскости. Далее мы рассмотрим этот случай.

Для линейной интерполяции важным понятием является простое отношение трех точек, определяемое выражением

.

Если и - барицентрические координаты точки относительно точек и , то можно записать, что

.

Барицентрические координаты точки и их частное не изменяются при аффинных преобразованиях. Следовательно, можно записать

,

где - аффинное преобразование.

Последнее выражение показывает, что при аффинных преобразованиях сохраняется простое отношение трех точек.
Сохранение простого отношения трех точек является важным свойством линейной интерполяции, которое можно использовать для аффинного отображения единичного интервала на произвольный интервал изменения параметра. Мы определили отрезок прямой как аффинный образ единичного интервала , хотя его также можно определить как образ любого произвольного интервала . Этот интервал сам может быть определен аффинным отображением интервала , и наоборот. Если и , то это отображение задается с помощью уравнения

.

Тогда произвольная точка на интерполирующей прямой определяется одним из следующих двух уравнений:

или

.

При конструировании обводов из дуг параметрических кривых выбирают единичный интервал изменения параметра для каждой дуги. Исключение составляют параметрические сплайны и кривые, построенные с помощью техники NURBS, у которых параметр равен нулю на одном конце обвода и принимает возрастающие значения в узлах по мере продвижения к другому концу. Другим практическим применением произвольного интервала изменения параметра является локальная модификация какого-либо произвольного участка дуги обвода. Например, в случае кривых Безье требуется определить векторы управляющих точек внутреннего участка дуги для интервала (рис. 13.2).

Рис. 13.2. Определение характеристической ломаной внутреннего участка дуги кривой Безье







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 1612. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия