Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ





Пусть в пространстве заданы две различные точки и . Все точки , принадлежащие пространству , определяемые с помощью уравнения

, (1)

лежат на прямой . См. Рис. 13.1.

Рис. 13.1. Линейная интерполяция двух точек

Для интервала изменения параметра точка лежит между точками и , и делит отрезок в отношении . Уравнение (1) представляет собой барицентрическую комбинацию двух точек в пространстве . Барицентрическая комбинация существует и для трех точек в пространстве :

.

Очевидно, что точка связана с точками 0 и 1 такой же барицентрической комбинацией, которая связывает точку с точками и . Следовательно, линейная интерполяция является аффинным отображением действительной оси на прямую линию в пространстве . С линейной интерполяцией тесно связан метод барицентрических координат, предложенный Мебиусом.
Для трех коллинеарных точек , расположенных в пространстве , можно записать связывающее уравнение

,

где - барицентрические координаты точек и .

Отметим, что из уравнения (1) мы назвали барицентрической комбинацией. Поэтому связь метода барицентрических координат и линейной интерполяции очевидна:

Барицентрические координаты могут принимать отрицательные значения, это происходит, если .

Для произвольных коллинеарных точек , , можно записать выражения для барицентрических
координат точки относительно и :

.

Барицентрические координаты могут быть определены не только на прямой линии, но и на плоскости. Далее мы рассмотрим этот случай.

Для линейной интерполяции важным понятием является простое отношение трех точек, определяемое выражением

.

Если и - барицентрические координаты точки относительно точек и , то можно записать, что

.

Барицентрические координаты точки и их частное не изменяются при аффинных преобразованиях. Следовательно, можно записать

,

где - аффинное преобразование.

Последнее выражение показывает, что при аффинных преобразованиях сохраняется простое отношение трех точек.
Сохранение простого отношения трех точек является важным свойством линейной интерполяции, которое можно использовать для аффинного отображения единичного интервала на произвольный интервал изменения параметра. Мы определили отрезок прямой как аффинный образ единичного интервала , хотя его также можно определить как образ любого произвольного интервала . Этот интервал сам может быть определен аффинным отображением интервала , и наоборот. Если и , то это отображение задается с помощью уравнения

.

Тогда произвольная точка на интерполирующей прямой определяется одним из следующих двух уравнений:

или

.

При конструировании обводов из дуг параметрических кривых выбирают единичный интервал изменения параметра для каждой дуги. Исключение составляют параметрические сплайны и кривые, построенные с помощью техники NURBS, у которых параметр равен нулю на одном конце обвода и принимает возрастающие значения в узлах по мере продвижения к другому концу. Другим практическим применением произвольного интервала изменения параметра является локальная модификация какого-либо произвольного участка дуги обвода. Например, в случае кривых Безье требуется определить векторы управляющих точек внутреннего участка дуги для интервала (рис. 13.2).

Рис. 13.2. Определение характеристической ломаной внутреннего участка дуги кривой Безье







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 1612. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Что происходит при встрече с близнецовым пламенем   Если встреча с родственной душой может произойти достаточно спокойно – то встреча с близнецовым пламенем всегда подобна вспышке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия