В. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник
Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15). Пусть уравнения сторон таковы: X = xlt X — х2> К = г/Х и К=«/г. <ха, yt < У < yt) = [F (xt, yt) — F(xlt уг)] — [F (**. VJ — F (xu yt)]. (*) Пример. Найти вероятность попадания случайной точки (X; Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми х — п/6, х = л/2, у=л/4, у = л/3, если известна функция распределения F (х, у) =sin х sin у (0 < х < п/2, 0 < у < я/2). Решение. Положив х1=п/Ъ, ха = я/2, У1 = я/4, уа = п/3 в формуле (*), получим Р (я/6 < X < я/2, я/4 < К < п/3) = [ F (я/2, п/3) — — F(n/&, я/3)] -IF (я/2, я/4) — F (п/6, я/4)] = = [sin (я/2) sin (я/3) — sin (я/6) sin (я/3)] — [sin (я/2) sin (я/4) — sin (я/6) sin (я/4)] =[ V 3/2— уНз/4] —[ уНг/Я— ^1/4] = = (КЗ- К~2)/4 = 0,08. § 7, Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности) Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка. Плотностью совместного распределения вероятностей f (х, у) двумерной непрерывной случайной величины (X, У) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения: fix u) = d*F{x,y) v*» У) — дхду • Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Пример. Найти плотность совместного распределения f(x, у) системы случайных величин (X, К) по известной функции распределения F (*. У) = sin х sin у (0< х С я/2, 0 <у< я/2).
|
