Решение. По определению плотности совместного распределения,
d2F У)=дхду' Найдем частную производную по х от функции распределения: dF -г— = cos х sin у. дх Найдем от полученного результата частную производную по у, в итоге получим искомую плотность совместного распределения: F f (*• У) — cos *cosУ (Q<*<я/2, О<я/2). Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения Зная плотность совместного распределения f ( х, у), Можно найти функцию распределения F (х, у) по формуле У х Р(х,У)=1 lf(x,y)dxdy, СС — CD что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины (X, Y). Пример. Найти функцию распределения двумерной случайной величины по данной плотности совместного распределения Пх’ У)=п*(\+х*)(1+у~*)' Решение. Воспользуемся формулой У х F(x, у)= ^ $ Н*’ У)ЛхЛУ- 00 — 00 Положив f(x, y) = nt (1 (i, получим А (гтр I — СО \ — со / =5* Iгтр(*role* +-у) *= (-у*+т)т ЦТ+Р“ Со — оо x=(larctgx + l)(larctgi,+l). Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности Вероятность попадания случайной точки (X; У) в прямоугольник ABCD (рис. 16) равна (см. § 6) P(xt<X<xt, yt < У < уш) = [Z7 (*„ yt) — F (xlt у,)] — [F(xtt yl) — F(xt, уг)]. Обозначив для краткости левую часть равенства через Pabcd и применив к правой части теорему Лагранжа, получим РABCD = Fxyi^t *l) At/, Где *i <£<*., = у!<г\<у„ Дy = yt—yt. Отсюда P’jvd, Л) = ьхЬу * Или /(Б. П) Л* % Приняв во внимание, что произведение АхАу равно площади прямоугольника ABCD, заключаем: f (£, tj) есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник ABCD Уз к площади этого прямоугольника. Перейдем теперь в ра- у, венстве (**) к пределу при Ах —>-0 и А у —«-О. Тогда—j г]—*у и, следова- Рнс,6 тельно, f(l, г])—* f(x, у). Итак, функцию f (х, у) можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами Ах и А у) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.
|
