Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Перепишем соотношение (**) § 9 так:

fit, ц)АхАу=Р_Авсо.

Отсюда заключаем: про­изведение /(£, ц) Ах At/ есть вероятность попада­ния случайной точки в прямоугольник со сторо­нами Ах и А у.

Пусть в плоскости хОу задана произвольная об- Рнс. 17 ласть/5. Обозначим собы­

тие, состоящее в попада­нии случайной точки в эту область, так: (X, Y)cD.

Разобьем область D на п элементарных областей пря­мыми, параллельными оси Оу, находящимися на расстоя­нии Ах одна от другой, и прямыми, параллельными оси Ох, находящимися на расстоянии Ау одна от другой (рис. 17) (для простоты предполагается, что эти прямые пересекают контур области не более чем в двух точках). Так как
события, состоящие в попадании случайной точки в эле­ментарные области, несовместны, то вероятность попада­ния в область D приближенно (сумма элементарных об­ластей приближенно равна области D!) равна сумме вероятностей попаданий точки в элементарные области:

Переходя к пределу при Ах —>-0 и А у —>-0, получим Р((X, У) с D) = J J f{x, у) dx dy. (*)

Итак, для того чтобы вычислить вероятность попада­ния случайной точки (X; Y) в область D, достаточно

найти двойной интеграл по области D от функции

/(*» У)-

Геометрически равенство (*) можно истолковать так: вероятность попадания слу­чайной точки (X; У) в область D равна объему тела, огра­ниченного сверху поверхно­стью z = /( х, у), основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость хОу.

Замечание. Подынтегральное выражение f ( х, у) dx dy назы­вают элементом вероятности. Как следует нз предыдущего, элемент вероятности определяет вероятность попадания случайной точки в эле­ментарный прямоугольник со сторонами dx к dy.