Что и требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если восполь­зоваться геометрическим истолкованием функции распре­деления как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (х; у) (рис. 13). При возрастании х правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в «новый» квадрант, очевидно, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что F (х, у) есть неубыва­ющая функция по аргументу у.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) F (— оо, у) = 0, 2) F (х, — оо) = 0,

3) F (— оо, —оо) -- 0, 4) F (оо, оо)—1.

Доказательство. 1) F(— оо, у) есть вероятность события X < — оо и У <С у \ но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие Х<— оо), следовательно, вероятность этого события равна нулю.

Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при х —►— оо правая граница бесконечного квадранта (рис. 13) неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания слу­чайной точки в квадрант стремится к нулю.

Событие У < — оо невозможно, поэтому F (х, — оо) = 0.

Событие Х< — оо и К< — оо невозможно, поэтому F (— оо, — оо) — 0.

Событие X < оо и У < оо достоверно, следовательно, вероятность этого события F (оо, оо)=1.

Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при х —► оо и у —»■ оо бесконечный квад­рант (рис. 13) превращается во всю плоскость хОу и, следовательно, попадание случайной точки (X; У) в эту плоскость есть достоверное событие.

Доказательство, а) Так как событие К< оо досто­верно, то F (х, оо) определяет вероятность события X < х, т. е. представляет собой функцию распределения состав­ляющей X.