Пример. Платность распределения двумерной случайной величины

^ПХ' *^{) =} я» О+*■>(»+»■)'

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (рис. 18) с вершинами К (1; 1), L(V 3; l), М (1; 0) и N (У~3; 0).

Решение. Искомая вероятность

р«х. пеЧ-J у „,₍,₊J_)(1+i,_t). fc^

(О)

Свойства двумерной плотности вероятности

Свойство 1. Двумерная плотность вероятно­сти неотрицательна:

f(x, у)>0.

Доказательство. Вероятность попадания случай­ной точки в прямоугольник со сторонами Да: и Д у есть неотрицательное число; площадь этого прямоугольника — положительное число. Следовательно, отношение этих двух чисел, а значит, и их предел (при Ах —►О и Д у —*-0), который равен f ( х, у) (см. § 9), есть неотрицательное число, т. е.

f(x, у)> 0.

Заметим, что свойство непосредственно следует из того, что F (х, у) — неубывающая функция своих аргументов (§ 4).

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бес­конечными пределами от двумерной плотности равен единице:

J 5 / (х, у) dx dy = 1.

Оо — оо

Доказательство. Бесконечные пределы интегри­рования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость хОу, поскольку событие, состоящее в том, что" случайная точка попадет при испытании на плоскость хОу, достоверно, то вероятность этого события (она и определяется двойным несобственным интегралом от дву­мерной плотности) равна единице, т. е.

J J f(x, у) dx dy = 1.

00—00

Пример. Задана плотность совместного распределения непрерыв­ной двумерной случайной величины (X,Y): f (х, у) =С cos х cos у в квадрате 0«^*<п/2, 0 <у*Сл/2; вие этого квадрата f (х, у) — 0. Найти постоянный параметр С.

Решение. Воспользуемся свойством 2, учитывая, что х и у изменяются от 0 до я/2:

С 5 5 cos х cos у dxdy = 1.

/Я/i я/2

ifc с \

С = I /(\ COS**** \ соя у dy ].

Выполнив интегрирование, получим искомое значение парамет­ра С= 1.